Eigenwerte und Eigenvektoren (Fixelemente).

Definition

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt, und man bezeichnet den Streckungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.

Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells.[www.uni-leipzig.de/stksachs/lehrbuecher/.../eigenwerte.pdf ], 14.12.2009

Bestimmung von Eigenwerten

Gegeben ist die Abbildungsmatrix A=$\begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}$.

Aufstellen der charakteristischen Gleichung:

$det(A-\lambda A)=0<=>(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=0\!\,$

Die Lösungen $\lambda$₁/$\lambda$₂ dieser Gleichung sind die Eigenwerte. Die charakteristische Gleichung hat eine, zwei oder keine Lösung.

Bestimmung von Eigenvektoren

Die Eigenvektoren erhält man, indem man das LGS $\begin{pmatrix} a-\lambda & c \\ b & d-\lambda \end{pmatrix}$$\vec x$=$\vec0$ löst.

Für den Eigenwert $\lambda$=1 erhält man eine Fixpunktgerade, für $\lambda$$\ne$1 eine Fixgerade.

Beispielaufgaben

Bestimmung der Eigenwerte:

Gegeben ist die Matrix $A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\!\,$

Aufstellen der charakteristischen Gleichung:

                                           $(4-\lambda)(2-\lambda)+1=0\!\,$
                                     $<=>\lambda^2-6\lambda+8+1=0\!\,$
                                     $<=>\lambda^2-6\lambda+9=0\!\,$
                                     $<=>\lambda_{1,2}=3\pm\sqrt{9-9}\!\,$
                                     $<=>\lambda_{1,2}=3\!\,$

=>d.h. nur ein Eigenwert

Bestimmung des Eigenvektors:

                                          $(A-\lambda E)\vec x=\vec 0\!\,$
                                    $<=>\left[\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\right]\vec x=\vec 0\!\,$
                                    $<=>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\vec x=\vec 0\!\,$

                                    $<=>I x+y=0\!\,$
                                          $II -x-y=0\!\,$

                                          $x+y=0\!\,$
                                          $0=0\!\,$

                                          $y=c\!\,$
                                    $<=> x=-c\!\,$

$=>\vec x = c{-1 \choose 1}\!\,$