Lösung linearer Gleichungssysteme.

Gaußches Eliminierungsverfahren

Die Operationen

• Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor
• Addition/Subtraktion des Vielfachen einer Gleichung mit einer anderen Gleichung

Bedingung

Man braucht mindestens genauso viele Gleichungen, wie unbekannte Variablen. Wenn es mehr Gleichungen sind, muss man mit der/den "überflüssigen" Gleichung(en) die Variablen einsetzen und das Ergebniss überprüfen. Wenn die Zahlen nicht übereinsstimmen, gibt es kein Ergebniss.

Beispiel

Aufstellen des linearen Gleichungssystems.

$I$

$\!4 = 1x +2y +3z$

$II$

$\! 1 = 2x +3y +4z$

$III$

$\! 2 = 3x +4y +1z$

Durch das Subtraktionsverfahren eliminiert man $\!x$ aus 2 Gleichungen

$I$

$\! 4 = 1x +2y +3z$

$I*(-2) + II$

$\! 7 = 1y +2z$

$III$

$\! 2 = 3x +4y +1z$

$I$

$\! 4 = 1x +2y +3z$

$I*(-2) + II$

$\! 7 = 1y +2z$

$I*(-3) + III$

$\! 10 = 2y +8z$

Durch erneute Subtraktion wird $\!Y$ eliminiert.

$I$

$\! 4 = 1x +2y +3z$

$I*(-2) + II$

$\! 7 = 1y +2z$

$II*(-2) + III$

$\! 4 = -4z$

Durch Einsetzten und Lösen erhält man:

$\! z = -1$

$\! y = 9$

$\! x = -11$

Besonderes

1.Beispiel

Hätte man als Gleichungen:
1. Gleichung: $\!-7y - 3z = -14$
2. Gleichung: $\!-7y - 3z = -13$
hätte man nach dem Gleichsetzen das Ergebniss: $\!-14=-13$ In solchen Fällen gibt es keine Lösung.

2.Beispiel

Hätte man jedoch die GLeichungen:
1. Gleichung: $\! -7y - 3z = -14$
2. Gleichung: $\! -7y - 3z = -14$
hätte man das Ergebniss $\! -14=-14$ In solchen Fällen gibt es unendlich viele Lösungen.