Darstellung von Geraden und Ebenen

Geraden

Eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert.

In der vektoriellen Darstellung ist eine Gerade durch einen Stützvektor $\vec s$ und einen Richtungsvektor $\vec r$ beschrieben.

Die Geradengleichung in Parameterform ist also:

$g: \vec x=\vec s+t*\vec r$

Bei zwei gegebenen Punkten A und B ist z.B. $\vec a$ der Stützvektor und $\overline {BA}$ der Richtungsvektor.

Ebenen

Eine Ebene wird durch zwei linear unabhängige Vektoren aufgespannt.

Die Parametergleichung für eine Ebene ist also:

$E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v$ $(r, s \in \mathbb{R})$

Formumformungen

Parameterform in Koordinatenform:

$E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v$ $\longrightarrow$ $\! E: ax+by+cz=d$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \vec p+r*\vec u+s* \vec v$

Als Gleichungssystem lösen.

Parameterform in Normalenform

$E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v$ $\longrightarrow$ $[\vec n(\vec x - SV)]$

1) Normalenvektor finden durch $\vec n =\vec u \times \vec v$
2) Der Stützvektor bleibt gleich
Also erhält man $[\vec u \times \vec v(\vec x - \vec p)]$

Koordinatenform in Parameterform

Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
Bei 2 Spurpunkten S_x,s_y: Ebene liegt parallel zur z damit ist der Richtungvektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

Koordinatenform in Normalenform