Flächenberechnungen

Flächenberechnung:

Quadrat

-Alle Seiten sind gleichlang.
-Alle Winkel sind 90°.
-Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander, sind gleich lang und halbieren sich.

Umfang U: $U=4*a$ Flächeninhalt A: $A=a^2$

Rechteck

-Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.
-Alle Winkel sind 90°.
-Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich.

Umfang U: $U=2*(a+b)$ Flächeninhalt A: $A=a*b$

Dreieck

-Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°.

Umfang U: $U=a+b+c$ Flächeninhalt A: $A=\frac{a*h_a}{2}$ $A=\frac{b*h_b}{2}$ $A=\frac{c*h_c}{2}$

Parallelogramm

-Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.
-Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
-Die Diagonalen halbieren sich.

Umfang U: $U=2*(a+b)$ Flächeninhalt A: $A=a*h_a$ $A=b*h_b$

Trapez

-Grund- und Decklinien sin parallel.

Umfang U: $U=a+b+c+d$ Flächeninhalt A: $A=\frac{a+c}{2}*h$

Raute

-Alle Seiten sind gleichlang.
-Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
-Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Umfang U: $U=4*a$ Flächeninhalt A: $A=a*h_a$

Drachen

-Die benachbarten Seiten sind gleichlang.
-Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
-Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Umfang U: $U=2*(a+b)$ Flächeninhalt A: $A=\frac{e*f}{2}$

Kreis

-Alle Punkte auf der Kreislinie haben vom Mittelpunkt M den gleichen Abstand.
-Der Abstand vom Mittelpunkt M zur Kreislinie ist der Radius.
-Der Abstand von einem Punkt der Kreislinie durch den Mittelpunkt M zum gegenüberliegenden Punkt der Kreislinie ist der Durchmesser d.

Umfang U: $U=2*r*\pi$ Flächeninhalt A: $A=\pi*r^2$

Berechnung von Flächen durch Integrale

Gesucht ist der Flächeninhalt den eine gegebene Funktion mit einer anderen Funktion oder der x-Achse einschließt.

Der erste Schritt besteht darin das Intervall festzulegen in dem die Fläche berechnet wird, dabei gibt es drei Unterscheidungen.

1. Funktion und x-Achse: Berechnen der Nullstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden

2. Funktion und Funktion: Berechnen der Schnittstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden

3.Funktion und lim: Das Intervall geht gegen $\lim_{n \to \infty}$

Formeln

Gesucht ist Flächeninhalt zwischen $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ und der x-Achse mit dem Intervall [e;f] wobei e und f die Nullstellen der Funktion sind.

$F(x)=\int_{e}^f f(x)\,dx$