Darstellung von Geraden und Ebenen

Geraden

Eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert.

In der vektoriellen Darstellung ist eine Gerade durch einen Stützvektor $\vec s$ und einen Richtungsvektor $\vec r$ beschrieben.

Die Geradengleichung in Parameterform ist also:

$g: \vec x=\vec s+t*\vec r$

Bei zwei gegebenen Punkten A und B ist z.B. $\vec a$ der Stützvektor und $\overline {BA}$ der Richtungsvektor.

Ebenen

Parameterform:

Eine Ebene wird durch zwei linear unabhängige Richtungsvektoren aufgespannt.

Die Parametergleichung für eine Ebene ist:

$E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v$ $(r, s \in \mathbb{R})$

Normalenform:

$[\vec n(\vec x - SV)]= 0$

Bei drei gegebenen Vektoren $\vec a$ $\vec b$ $\vec c$ bildet man das Kreuzprodukt aus $\vec n =\overrightarrow {ac} \times \overrightarrow {ab}$
. Der Stützvektor ist $\vec a$.

Koordinatenform:

$\! E: ax+by+cz=d$

Formumformungen

Parameterform in Koordinatenform

$E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v$ $\longrightarrow$ $\! E: ax+by+cz=d$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \vec p+r*\vec u+s* \vec v$

Als lineares Gleichungssystem lösen.

Parameterform in Normalenform

$E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v$ $\longrightarrow$ $[\vec n(\vec x - SV)]$

1) Normalenvektor finden durch $\vec n =\vec u \times \vec v$
2) Der Stützvektor bleibt gleich
Zielgleichung: $[\vec u \times \vec v(\vec x - \vec p)]$

Koordinatenform in Parameterform

Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
Bei 2 Spurpunkten S_x,s_y: Ebene liegt parallel zur $z$ damit ist der Richtungvektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

Koordinatenform in Normalenform

$\vec n$bestimmen durch Koeffizienten der Koordinatenform $\! E: ax+by+cz=d$ also $\vec n=\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}$ Als Stützvektor wählt man einen Spurpunkt.

Zielgleichung: $[\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}(\vec x - Spurpunkt)]$

Normalenform in Koordinatenform

Ausmultiplizieren des Skalarprodukts.

Zielgleichung: $\!n_1ax+n_2by+n_3cz=0$