Gebrochene rationale Funktionen.

Defition von gebrochenrationalen Funktionen

Eine gebrochenrationale Funtion ist ein Bruch zweier ganzrationaler Funtionen g(x) und h(x).
Dabei heißt g(x) Zählerfunktion mit dem Zählergrad ZG und h(x) heißt Nennerfunktion mit
dem Nennergrad NG.

Allgemeine Form der Funktion: $f(x) =\frac{g(x)}{h(x)}$ mit dem ganzrationalen Funktionen g(x) und h(x) ( Grad h(x) $\geq$ 1).

Bei einer ganzrationalen ist der Funktionsterm ein Polynom.

Ist z.B. g(x) = $x ^ 3$ + x und $h_1$(x) = $2x^2 -2$, ergibt sich $f(x) =\frac{g(x)}{h_1(x)}$ = $\frac{x^3 + x}{2x^2 - 2}$ = $\frac{x(x^2 + 1)}{2(x^2 - 1)}$.

Diese Art von Funktionen nennt man gebrochenrationale Funktion.

Ist dagegen $h_2$ = $2x^2 + 2$, ergibt sich $i(x)=\frac{g(x)}{h_2(x)}$ = $\frac{x^3 + x}{2x^2 + 2}$ = $\frac{x(x^2 + 1)}{2(x^2 + 1 }$ =$\frac{x}{2}$ .

Durch das Kürzen ändert sich in diesem Fall die Definitionsmende nicht. Es ergibt sich als Nennerpolynom eine Konstante. Die Funktion i ist also ein ganzrationale Funktion.

Damit kann man formulieren:

Eine Funktion f mit $f(x) =\frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ ... + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ... + b_1 x + b_0}$ , $a_i$ $\in$ $\R$, $b_i$ $\in$ $\R$, $a_n$ $\ne$ 0 , $b_m$ $\ne$ 0, heißt gebrochenrational, wenn diese Darstellung nur mit einem Nennerpolynom möglich ist, dessen Grad mindestens 1 ist.

Falls das Nennerpolynom den Grad 0 hat, ist f eine ganzrationale Funktion.

Definitionsmenge

Nenner = 0 setzen 

y-Achsenabschnitt

x = 0 setzen, f(0)= ... 

Nullstellen und Polstellen

Um einen Überblick über den Verlauf des Graphen einer gebrochenrationalen Funktion f mit $f(x)= \frac{p(x)}{q(x)}$ zu gewinnen, untersucht man f zunächst auf Nullstellen des Zählers und auf Definitionslücken.

Nullstellen

$p (x_0)$ = 0 und $q (x_O)$ $\ne$ 0

Zähler = 0 setzen 

Bei der Funktion $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$ ist an der Stelle $x_0$ = 1 der Zähler null und der Nenner ungleich null. $x_0$ ist die Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion f.

Polstelle

$p (x_0)$ $\ne$ 0 und $q (x_O)$ = 0

Nenner = 0 setzen

Bei der Funktion $f(x)=frac{x+2}{x-3}$ ist an der Stelle $x_0$ = 3 der Zähler ungleich null und der Nenner null. $x_0$ ist Pollstelle der der gebrochenrationalen Funktion f.

Hebbare Definitionslücke

$p (x_0)$ = 0 und $q (x_O)$ = 0

Zähler und Nenner = 0

Bei der Funktion $f(x)= \frac{(x+1)(x-2)}{(x+1)^2(x-2)}$ ; D = $\R {-1;2}$ sind an der Stelle $x_0 = -1$ und $x_1 = 2$ sowohl der Nenner als auch der Zähler gleich null. Nach dem Kürzen gilt:

Für alle x $\in$ D ist $f(x) = \frac{1}{x+1}$ und damit $f(x) = \frac{1}{3}$ ; $x_1 = 2$ ist keine Polstelle ; dort ist eine hebbare Definitionslücke. $x_0 = -1$ ist eine Polstelle. An der Stelle $x_0 = -1$ hat der Graph eine senkrechte Asymptote, der Punkt P ( 2 / $\frac{1}{3}$) gehört nicht zum Graphen der Funktion f.

Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel

In der Umgebung einer Polstelle zeigen gebrochenrationale Funktionen unterschiedliches Verhalten.

Die Funktion f mit $f(x) = \frac{1}{x-2}$ an der Stelle $x_0 = 2$ eine Polstelle. Bei linksseitiger Annäherung an $x_0 = 2$ werden Funktionswerte beliebig klein; bei rechtsseitiger Annäherung beliebig groß.

Man schreibt:

Für x --> 2 und x $< 2$ gilt: f(x) --> - $\lim$,

für x --> 2 und x $> 2$ gilt: f(x) --> + $\lim$

Man sagt: Die Funktion f hat an der Stelle 2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW) von - nach +. Der Graph nähert sich von links und von rechts der Geraden mit der Gleichung x = 2 beliebig genau an.

Die Funktion g mit $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$ hat an der Stelle $x_0 = 2$ ebenfalls eine Polstelle. Für x --> 2 gilt aber g(x) --> + $\lim$ sowohl für x $< 2$ als auch für x $> 2$.

Man sagt: Die Funktion g hat an der Stelle 2 eine Polstelle ohne VZW. Auch der Graph von g nähert sich von links und vo rechts der Geraden mit der Gleichung x = 2 beliebig genau an.

Ist $x_0$ Polstelle einer gebrochenrationalen Funktion so gilt:
$\vert f(x) \vert$ --> + $\lim$ für x --> $x_0$
Die Gerade mit der Gleichung $x = x_0$ heißt senkrechte Asymptote des Graphen von f.

Verhalten im Unendlichen, Näherungsfunktionen

Das " Grenzverhalten " einer gebrochenrationalen Funktion f mit $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ hängt vom Grad n des Zählerpolynoms p(x) und vom Grad m des Nennerpolynoms q(x) ab.

1. Fall : $n < m$

Für f mit $f(x) = \frac{3x}{x^2 + 1}$ ist n = 1 und m = 2.

Da für x --> $\lim$ sowohl p(x) als auch q(x) gegen unendlich streben, formt man um. Division von p(x) als auch q(x) durch x $\ne$ 0 ergibt:

$f(x) = \frac{3}{x + 1/x }$ in $D_f$ $\setminus \{ 0\}$.

Jetzt erkennt man: lim f(x) = 0.

Die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung y = 0

2.Fall: n = m

Für f mit der Funktion $f(x) = \frac{2x^2}{4x^2 - 4}$ ist n = m = 2.

Division des Zählers und des Nenners durch $x^2 \ne 0$ ergibt: $f(x) = \frac{2}{4 - 4/ x^2}$ in $D_f$ $\setminus \{ 0\}$.

Man erkennt: lim $f(x) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Die Gerade mit der Gleichung y = $\frac{1}{2}$ ist eine waagerechte Asymptote.

3. Fall: n = m + 1

Für f mit $f(x) = \frac{x^2 + 1,5x}{2x - 1}$ ist n = 2 und m = 1. Division des Zählers und des Nenners durch $x \ne 0$ ergibt: $f(x) = \frac{x + 1,5x}{2 - 1/x}$. Für x --> + $\lim$ gilt somit: f(x) --> + $\lim$. Genauere Auskunft über das Verhalten der Funktionswerte von f für x --> +/- $\lim$ erhält man, wenn man das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom dividiert --> Polynomdivision

($(x^2 + 1,5x): (2x - 1) = \frac{1}{2}x + 1 + \frac{1}{2x - 1}$

Für x --> +/- $\lim$ unterscheiden sich die Funktionswerte von f beliebig wenig von denen der Fuktion g mit $g(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Der Graph von g ist eine schiefe Asymptote

4.Fall: n > m + 1

Für f mit $f(x)= \frac{x^3+x+1}{x}$ ist n=3 und m=1 ; f(x) = $x^2 + 1 + \frac{1}{x}$; $D_f = \R \setminus \{ 0\}$.

Der Anteil $x^2 + 1$ ist nicht linear. Die Funktion g mit $g(x) = x^2 + 1$ heißt ganzrationale Näherungsfunktion, der Graph mit der Gleichung $y = x^2 + 1$ heißt Näherungsparabel.

Allgemein spricht man auch von einer Näherungskurve für $\vert x \vert$ --> unendlich

Symmetrie

a) Achsensymmetrie zur y- Achse

Bed. f(-x) = f(x)

b) Punktsymmetrie zum Ursprung

Bed. - f(-x) = f(x)