G11: Normalform und Scheitelpunktsform

Die Normalparabel hat die einfachste Gleichung 2. Grades und hat die Form einer nach oben geöffneten Parabel (y=x²). Steht vor dem x ein Minus (y=-x²), ist die Parabel nach unten geöffnet. Ist die Parabelgleichung in der Scheitelpunkt-Form gegeben, dann können unmittelbar die Koordinaten des Scheitelpunkts abgelesen werden. Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt des Graphen einer Parabel.

Weitere Definiton der Normalparabel

Vor dem x kann zusätzlich noch ein Faktor stehen, der die Parabel steiler oder flacher macht.

1. Beispiel : y=2x² (steiler)
2. Beispiel : y=0.5x² (flacher)

Nach dem x steht oft noch ein Summand. Er gibt an, wie weit die Parabel in Richtung der Y-Achse verschoben ist. Dabei gibt ein positiver Wert eine Verschiebung nach oben an und ein Negativer nach unten.

1. Beispiel : y=2x²+3 (3 nach oben verschoben)
2. Beispiel : y=0.5x²-3 (3 nach unten verschoben)
3. Beispiel : y=-2x²+3 (3 nach oben verschoben, Parabel unten offen)

Um die Parabel in x-Richtung zu verschieben, muss noch ein weiterer Summand zwischen dem x und der Potenz eingefügt werden. Dabei verschiebt ein positiver Summand nach links und ein negativer nach rechts.

1. Beispiel : y=2(x+3)²+2 (3 nach links, 2 nach oben)
2. Beispiel : y=2(x-3)²-2 (3 nach rechts, 2 nach unten)
3. Beispiel : y=-2(x+3)²-2 (3 nach links, 2 nach unten)

Die Normalform

Man kann aus der Scheitelpunktform direkt den Scheitelpunkt der Parabel ablesen.

1. Beispiel : y=2*(x-3)²-12

Die 2 gibt die Streckung an, und die -3 in der Klammer gibt die Verschiebung in x-Richtung an und –12 am Schluss, in y-Richtung an. Oft werden aber Funktionen nicht in der Scheitelpunktform, sondern in der Normalform angegeben. Um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen, muss die Scheitelpunktform aufgelöst werden.

1. Beispiel : y=2*(x-3)²-12=2x(x²-6+9)-12=2x²-12x+6

Die Normalform ist also: 2x²-12x+6=0

Von der Normalform in die Scheitelpunktform

Beispiel :

1. Die Normalform : 2x²-12x+6
2. Die 2 vor dem x² teilt alle anderen Terme : 2x(x²-6x+3)
3. Man entfernt vom Term in der Klammer das absolute Glied (hier 3) , die Potenz beim x und das mittlere x nach dem linearen Glied. Danach teilt man das lineare Glied, indiesem Fall die 6, noch durch 2. Den so erhaltenen Term setzt man in Klammern und fügt die Potenz wieder an. :

• (x²-6x+3)
• (x-6)
• (x-3)²

1. Diesen Term multipliziert man wieder aus mit hilfe der Binomischen Formel. Allerdings steht jetzt eine 9 als absolutes Glied am Schluss. : (x-3)²=(x²-6x+9)
2. Da hier aber als Summand +9 rauskommt und in der Ausgangsklammer +3 stand, muss noch die Differenz, also 6, vom vereinfachten Ausdruck abgezogen werden. :((x-3)²-6)
3. Am Ende wird der Faktor wieder eingeklammert und man bekommt die Scheitelpunktform. :

• 2*((x-3)²-6)
• 2(x-3)²-12

Wir erhalten also eine mit dem Faktor 2 gestreckte, nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (3/-12)

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