Spatprodukt

Volumen eines Spats

Mit dem Spatprodukt kann man das Volumen eines Spates, der von drei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, berechnen.

$V = \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}$

Zur Berechnung des Kreuzproduktes $\vec{a}\times\vec{b}$ und des Skalarproduktes $\vec{a}\cdot\vec{c}$ siehe hier.

Ein Beispiel:

Gegeben sind die Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}$ und $\vec{c} = \begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}$

Gesucht ist V

Rechnung:

Als erstes setzt man die gegebenen Vektoren in die Formel $V = \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}$ ein.

$V = \left(\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}$

Dann berechnet man zu erst das Kreuzprodukt. Man erhält also:

$V = \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}$

Daraufhin muss man nur noch das Skalarprodukt berechnen und schon ist man fertig:

$V = 6 - 3 = 3$

Volumen von Pyramiden

Mit dem Spatprodukt kann man außerdem auch das Volumen einer Pyramide berechnen:

Dreiseitige Pyramide:

$V = \frac{1}{6}\cdot\left[\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}\right]$

Vierseitige Pyramide:

$V = \frac{1}{3}\cdot\left[\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}\right]$