Textaufgaben zu quadratischen Funktionen

Bei Textaufgaben zu quadratischen Funktionen bearbeitet man Probleme die auf eine quadratische Gleichung führen. Die Informationen werden dabei aus einem meist knappen Text entnommen.

Vorgehensweise

Aufgabenstellung

Die Aufgabenstellung beschreibt einen mathematischen Sachverhalt, der durch eine Zeichnung ergänzt sein kann.

Bedingungen

Die Bedingungen kann man nach aufmerksamem Lesen aus der Aufgabenstellung und, falls Zeichnung vorhanden, auch aus dieser entnehmen.

Skizze zeichnen

Der Sachverhalt wird anhand einer Skizze dargestellt. Der Ursprungszustand und der veränderte Zustand müssen angegeben werden. Da es sich um eine Skizze handelt, muss der Sachverhalt nicht maßstabsgetreu wiedergegeben werden.

Beschriftung der Skizze

Als erstes wird das gesuchte "x" benannt und in der Skizze kenntlich gemacht.
Daraufhin werden die aus dem Text entnehmbaren Informationen in die Skizze übertragen. Wichtige unbekannte Größen werden mit Variablen (a,b,c...) gekennzeichnet. Bereits verwendete Variablen (wie z.B. x) dürfen für keine andere Strecke ungleich der schon zugeordneten Strecke verwendet werden.

Bedingungen festlegen

Die bisher in der Skizze bildlich veranschaulichten Bedingungen müssen nun als mathematische Gleichungen notiert werden.

Gleichung

Gleichung aufstellen

Die als Gleichungen notierten Bedingungen müssen ineinander eingesetzt werden. Dabei versucht man so zu ersetzen, dass zum Schluss eine gleichung herauskommt, in der keine andere Variable als das gesuchte x vorkommt.

Gleichung lösen

Die gefundene Gleichung muss im folgenden gelöst werden.

Beispiel

Aufgabenstellung

Verlängert man die eine Seite eines Quadrats um 13cm und verkürzt gleichzeitig die andere Seite um 4cm, so entsteht ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von 573cm².

Bedingungen

Die Bedingungen kann man nach aufmerksamem Lesen aus der Aufgabenstellung entnehmen.

Skizze zeichnen

Wichtige Informationen aus der Aufgaben stellung:

Verlängert man die eine Seite eines Quadrats um 13cm und verkürzt gleichzeitig die andere Seite um 4cm, so entsteht ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von 573cm².

Zuerst skizziert man das Quadrat (rot). Der Aufgabenstellung nach wird darüber ein Rechteck (gelb) mit einer verlängerten und einer verkürzten Seite gezeichnet.

Beschriftung der Skizze

Wichtige Informationen aus der Aufgabenstellung:

Verlängert man die eine Seite eines Quadrats um 13cm und verkürzt gleichzeitig die andere Seite um 4cm, so entsteht ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von 573cm².

• Als erstes wird das gesuchte x bestimmt und kenntlich gemacht: die Seitenlänge des Quadrats.

• Die um 4cm verkürzte Seite x wird mit der Variablen a gekennzeichnet.
• Die um 13cm verlängerte Seite x wird mit der Variablen b gekennzeichnet.

(Variablen [a,b,c...] sind frei wählbar, die bereits verwendete Variable x darf jedoch für keine andere Strecke ungleich x erneut verwendet werden.)

• Die beiden Variablen a und b stellen nun die Seiten des neuen Rechtecks A dar.
  

Bedingungen festlegen

• Aus diesen Bedingungen ergibt sich:
  

I.

II.

III.


Wichtige Informationen aus der Aufgabenstellung:

Verlängert man die eine Seite eines Quadrats um 13cm und verkürzt gleichzeitig die andere Seite um 4cm, so entsteht ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von 573cm².

• Aus der Aufgabenstellung lässt sich die Fläche von A (Rechteck)ableiten:

IV.

Gleichung

Gleichung aufstellen

Nun können die bestehenden Gleichungen ineinander eingesetzt weden:

• Gleichung I. in Gleichung IV.:

V.


$\rightarrow$ Resultat: Gleichung V.

Diese Gleichung wird im nächsten Schritt direkt weiter verwendet.

• Gleichungen II. und III. in Gleichung V.:

$\rightarrow$ Resultat: Gleichung VI.

Dies ist die gesuchte Gleichung.

Gleichung lösen

• Die gefundene Gleichung muss im Folgenden gelöst werden.
  

$\begin{matrix} (x-4)(x+13)& = &573\\\\ x^2+13x-4x-52& = &573\\\\ x^2+9x-52& = &573 &&|quadratische Erg\ddot anzung\\\\ x^2+9x+20.25-20.25-52& = &573 &&|binomische Formel\\\\ (x+4,5)^2-20,25-52& = &573\\\\ (x+4,5)^2-72,25& = &573 &&|+72.25\\\\ (x+4,5)^2& = &645.25 &&|\sqrt{}\\\\ x_1+4.5=\sqrt{645.25}& v &x_2+4.5=-\sqrt{645.25} &&|-4.5\\\\ x_1=-4.5+\sqrt{645.25}& v &x_2=-4.5-\sqrt{645.25} \end{matrix}$

Lösungsmenge bestimmen

$\mathbb L={-4.5-\sqrt{645.25};-4.5+\sqrt{645.25}}$