Ganzrationale Funktionen.

Ganzrationale Funktionen

f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀

n = Grad des Polynoms

Definitionsbereich:

• $x\in\R$
• (a_n $\not=$ 0, $n\in\N$)

Bestimmung einer ganzrationalen Funktion in Sachzusammenhängen:

• lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen
• Koordinatensystem auswählen
• Bedingung: n + 1 Bedingungen sind nötig

Funktionen 2. Grades:

Gleichung f(x)=0 in die Normalform umwandeln:

f(x)= ax² + bx + c | :a

   = x2 + $\frac{b}{a}$ x + $\frac{c}{a}$

• Lösen der Gleichung mithilfe der p/q-Formel:

f(x) = $x^2$ + px + q = 0

$x_{1,2}$ = $\frac{-p}{2}$ $\pm \sqrt{ (\frac{-p}{2})^2-q }$

oder c ist gleich 0:
ax²+bx= 0 | x ausklammern
x(ax+b) = 0
dann:
ax+b = 0

Funktionen 3. Grades:

f(x)= a³x + b²x + cx+d

• Lösen der Gleichung mithilfe der Polynomdivision:

• Hilfe: Wenn es eine ganzzahlige Nullstelle gibt, dann muss diese Nullstelle Teiler des ganzen Glieds sein.

Funktionen mehrstelligem Grades:

• Z.B. f(x) = ax⁴ + bx² + c

• Lösen der Gleichung mithilfe der Substitution:

• für x² = z

• daraus ergibt sich: f(z) = az² + bz + c

• Gleichung lösen und danach wieder zurück substituieren

Symmetrie:

• Wenn alle Exponenten gerade sind, dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y- Achse
• Wenn mind. ein Exponent ungerade ist, dann ist die Funkton punktsymmetrisch zum Ursprung

Verhalten im Unendlichen:

a_n < 0

• f(x) --> $+ \infty$ : n gerade
  

• f(x) --> $- \infty$ : n ungerade

a_n > 0

• f(x) --> $+ \infty$  : n ungerade

• f(x) --> $- \infty$  : n gerade