Lösung linearer Gleichungssysteme.

Gaußches Eliminierungsverfahren

Die Operationen

• Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor
• Addition/Subtraktion des Vielfachen einer Gleichung mit einer anderen Gleichung

Bedingung

Man braucht mindestens genauso viele Gleichungen, wie unbekannte Variablen. Wenn es mehr Gleichungen sind, muss man mit der/den "überflüssigen" Gleichung(en) die Variablen einsetzen und das Ergebniss überprüfen. Wenn die Zahlen nicht übereinsstimmen, gibt es kein Ergebnis.

Wenn man mehr unbekannte Variablen hat als Gleichungen ist das Verfahren unterbestimmt und deshalb unlösbar.

Beispiel

Aufstellen des linearen Gleichungssystems.

$I$

$\!4 = 1x +2y +3z$

$II$

$\! 1 = 2x +3y +4z$

$III$

$\! 2 = 3x +4y +1z$

Durch das Subtraktionsverfahren eliminiert man $\!x$ aus 2 Gleichungen

$I$

$\! 4 = 1x +2y +3z$

$I*(-2) + II$

$\! 7 = 1y +2z$

$III$

$\! 2 = 3x +4y +1z$

$I$

$\! 4 = 1x +2y +3z$

$I*(-2) + II$

$\! 7 = 1y +2z$

$I*(-3) + III$

$\! 10 = 2y +8z$

Durch erneute Subtraktion wird $\!Y$ eliminiert.

$I$

$\! 4 = 1x +2y +3z$

$I*(-2) + II$

$\! 7 = 1y +2z$

$II*(-2) + III$

$\! 4 = -4z$

Durch Einsetzten und Lösen erhält man:

$\! z = -1$

$\! y = 9$

$\! x = -11$

Besonderes

1. Beispiel

Hätte man als Gleichungen:

1. Gleichung: $\!-7y - 3z = -14$
2. Gleichung: $\!-7y - 3z = -13$

hätte man nach dem Gleichsetzen das Ergebnis: $\!-14=-13$

In solchen Fällen gibt es keine Lösung.

2. Beispiel

Hätte man jedoch die GLeichungen:

1. Gleichung: $\! -7y - 3z = -14$
2. Gleichung: $\! -7y - 3z = -14$

hätte man das Ergebnis $\! -14=-14$

In solchen Fällen gibt es unendlich viele Lösungen.