Affine Abbildungen

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Version vom 7. Dezember 2009, 16:57 Uhr von Karl Kirst (Diskussion | Beiträge)

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Definition:

Eine geradentreue und umkehrbare geometrische Abbildung der Ebene auf sich selbst nennt man eine affine Abbildung oder Affinität.

Die affine Abbildung bildet ein neues Koordinatensystem.

Die einzelnen Spalten der Matrix dürfen nicht linear abhängig sein.

A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}

\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

A*\vec x

\vec x\,'=A*\vec x+\vec c

LGS:

\vec x_1\,'=a_1x_1*b_1x_2+c_1

\vec x_2\,'=a_2x_1+b_2x_2+c_2


Abbildung Flächeninhalt Fixpunkte, Fixgeraden Matrixdarstellung
Spiegelung an der Ursprungsgeraden A bleibt gleich (0/0) Spiegelgerade (Fixgerade) M=\begin{pmatrix} cos2\varphi & sin2\varphi \\ sin2\varphi & -cos2\varphi \end{pmatrix}
zentrische Streckung \!A'= 3^2A (0/0) x-und y-Achse jede Gerade y=a*x M*\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
Drehung A bleibt gleich (0/0) M=\begin{pmatrix} cos\varphi & sin\varphi \\ -sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}
Skalierung \!A'=2*4A (0/0) x- und y-Achse
Scherung \!A'=A (0/0) x- oder y-Achse

\varphi ist der Winkel, um den die Funktion gespiegelt bzw. gedreht wird.