Bezug Produktsumme und Stammfunktion

h= Breite des Rechtecks
$h=\frac{b}{n}$
b= Grenze
n= Anzahl der Rechtecke

Wählt man die Höhe so, dass $h=\frac{b}{n}$ kann man die Untersumme folgendermaßen bestimmen:
sn= $\frac {b}{n}*0+\frac {b}{n}*f(1*\frac {b} {n})+ \frac {b}{n}*f(2*\frac {b}{n})+ ... + \frac {b}{n}*f(n-1)*\frac {b}{n}$

Die Formel setzt sich ganz einfach zusammen. Um die Fläche eines gewählten Balkens unter dem Graphen von $x^2$ zu berechnen, benutzt man die Formal zur Rechtecksberechnung.
In diesem Fall multipliziert man $\frac{b}{n}$ mit dem Funktionswert f von 1*$\frac{b}{n}$. Um auf die Untersumme zu gelangen addiert man jeweils alle Streifen miteinander bis zur Grenze b.
Man fragt sich jetzt sicherlich warum $\frac {b}{n}*f(n-1)*\frac {b}{n}$ als letztes steht.
Auch das ist klar zu verstehen, wenn man die obenstehende Grafik betrachtet:
Man erkennt, dass die Grenze, bis zu der wir die Fläche unter dem Graphen bestimmen wollen bei b liegt. Diese Grenze liegt bei der Untersumme bei $\frac{b}{n}*f(n-1)$, d.h. mit $\frac{b}{n}*f(n-1)$ berechnet man den letzten Streifen unter dem Graphen.

Setzt man jetzt $f*(1\frac{b}{n})$, $f*(2\frac{b}{n})$ usw. in die Funktion $x^2$ ein, so kommt man auf folgenden nächsten Schritt:
sn= $\frac {b}{n}*[1^2\frac {b^2}{n^2}+ 2^2\frac {b^2}{n^2}+ ... + (n-1)^2\frac {b^2}{n^2}]$
Ich habe $\frac {b}{n}$ dabei ausgeklammert.
Im nächsten Schritt kann man weiterhin $\frac {b^2}{n^2}$ vor die Klammer schreiben und man kommt zu folgender Schlussfolgerung:

sn= $\frac {b^3}{n^3}*(1^2+2^2+ ... + (n-1)^2$
Jetzt kommt die Formel für die Summe der ersten n-Quadratzahlen zum Gebrauch:
$1^2+2^2+...+n^2= \frac {1}{6}*n(n+1)*(2n+1)$

Daraus folgt dann die Weiterführung dieser Formel: sn= $\frac {b^3}{n^3}*(1^2+2^2+ ... + (n-1)^2$
Für die Untersumme gilt (n-1), also setzt man für n=(n-1) ein.
Das sieht folgendermaßen aus:
sn=$\frac {b^3}{n^3}*\frac{1}{6}*(n-1)*(n-1+1)*(2*8n-1)+1)$
Zur Veranschaulichung werde ich diesen Term einmal Schritt für Schritt vereinfachen:
=$\frac{1}{6}*\frac {b^3}{n^3}*(n-1)*n*(2n-1)$ =$\frac{1}{6}*b^3(\frac{n-1}{n})*(\frac{n}{n})*(\frac{2n-1}{n})$ =$\frac{1}{6}*b^3*(1-\frac{1}{n})*(2-\frac{1}{n})$
Man sieht, dass die Balken unter dem Graphen immer Größer werden und der Flächeninhalt nicht genau bestimmt werden kann, also bestimmt man das Verhalten in das Unendliche:
$lim (n)--> Unendlich$ $\frac{1}{6}*b^3*1*2=\frac{1}{3}*b^3$
Nun fällt auf, dass $\frac{1}{3}*b^3$ die Aufleitung von $x^2$ ist und man hat fast nachgewiesen, dass die Produktsumme offensichtlich einen Bezug zur Stammfunktion darstellt.
Man muss nämlich noch die Obersumme in Betracht ziehen und das mache ich im Folgendem: