Darstellung von Geraden und Ebenen.

Geraden

Eine Gerade ist eine unendlich lange und unendlich dünne Linie. Sie besitzt keine Eigenschaften, es besteht lediglich die Beziehung zu anderen Geraden, Punkten und Ebenen, die von Bedeutung sind.

Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form: $\vec x = \vec p + t \cdot \vec u$ beschreiben.

Die Gerade wird in der Parameterdarstellung beschrieben, indem ein Ortsvektor $\vec p$ auf einen beliebigen Punkt der Gerade gerichtet wird und zudem von diesem Punkt ein Richtungsvektor $\vec u$ den Verlauf der Geraden bestimmt.

Gegenseitige Lage von Geraden

Zwei Geraden können folgende Lagebeziehungen zueinander haben. Sie können:

• identisch sein: Beide Geraden haben alle Punkte gemeinsam. (Die Vektorengleichung hat unendlich viele Lösungen.)
• sich schneiden: Beide Geraden haben genau einen Punkt gemeinsam. (Die Vektorengleichung hat genau eine Lösung.) (linear unabhängig)
• zueinander parallel sein: Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam und lassen sich durch eine Verschiebung ineinander überführen. (linear abhängig)
• zueinander windschief sein: Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam, aber lassen sich nicht durch eine Verschiebung allein ineinander überführen. (linear unabhängig)
• keine gemeinsamen Punkte haben: Beide Geraden haben keine Punkte gemeinsam. (Die Vektorengleichung hat keine Lösung.)

Ebenen

Bei einer Ebene handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt.

Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form: $\vec x = \vec p + r \cdot \vec u + s \cdot \vec v$ beschreiben.

Hierbei ist $\vec p$ ein Stützvektor un die linear unabhänigen Vektoreb $\vec u$ und $\vec v$ sind zwei Spannvektoren.

Gegenseite Lage von Ebenen

Zwei Ebenen können folgende Lagebeziehungen zueinander haben. Sie können:

• sich schneiden: Beide Ebenen schneiden sich in einer Geraden. (Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.) (linear unabhängig)
• zueinander parallel sein: Beide Ebenen haben keine gemeinsamen Punkte. (Die Gleichung hat keine Lösung.) (linear abhängig)
• keine gemeinsamen Punkte haben

Normalgleichung

Die Normalgleichung einer Ebene hat die Form: $(\vec r - \vec a ) \cdot \vec n = 0$

Wobei $\vec n$ ein Normalenvektor der Ebene, $\vec a$ der Ortsvektor eines beliebigen Punktes ist, der in der Ebene liegt und $\vec r= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ der Vektor der Unbekannten ist. Der Operator $\cdot$ steht für das Skalarprodukt.

Die Normalform ist eine Gleichung, die eine Ebene im dreidemensinalen Raum oder eine Gerade im zweidemensionalen Raum. Sie wird hauptsächlich für Abstandsberechnungen verwendet. In vektorieller Schreibweise lautet sie: $\vec r \cdot \vec n_0 - d = 0$