Flächenberechnung

Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse

Für den Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen f und der x-Achse über [a,b] gilt:

$--> A=\int_{a}^{b} f(x)\, dx, falls f(x)\ge0$

$--> A=-\int_{a}^{b} f(x)\, dx$ $falls f(x)\le0$

denn: Das Integral zählt Flächeninhalte oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.

Beispielaufgaben:

Beispiel 1: Fläche oberhalb der x-Achse

--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.1.

Lösung: Da $f(x)\ge0$ für $x\in\ [-1,1]$ ist, gilt:

$A=\int_{1-}^{1} x^2\, dx= [\frac{1}{3}x^3] = \frac{1}{3} \cdot 1^3-\frac{1}{3} \cdot (-1)^3= \frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})= \frac{2}{3}$

Der Flächeninhalt beträgt $A= \frac{2}{3}$

Beispiel 2: Fläche unterhalb der x-Achse

--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.2.

Lösung: Da $f(x)\le0$ für $x\in\ [-1,3]$ ist, gilt:

$A=-\int_{-1}^{3} -\frac{1}{4}x^2\, dx=\int_{-1}^{3} \frac{1}{4}x^2\, dx= [\frac{1}{12}x^3]= \frac{1}{12} \cdot 3^3-\frac{1}{12} \cdot (-1)^3= -\frac{9}{4}-(-\frac{1}{12})= \frac{7}{3}$

Der Flächeninhalt beträgt A= Der Flächeninhalt beträgt $A= \frac{7}{3}$

Sollte f in [a,b] jedoch sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verlaufen, so muss man die Inhalte der Teilflächen getrennt berechnen:

1.) Berechnung der Nullstellen von f

2.) Bestimmung des Vorzeichens von f(x) oder ggf. Betragsstriche um die jeweiligen Teilflächen setzen

3.) Berechnung des gesamten Flächeninhalts, indem man die einzelnen Teilflächen miteinander addiert.

$A=\int_{a}^{N} f(x)\, dx+\int_{N}^{b} f(x)\, dx$

Beispielaufgabe:

Beispiel3: Fläche teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der x-Achse

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 0,5x^3-2x (Fig.3).

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse über dem Intervall [-1;2,5] einschließen.

Lösung:

1.) Nullstellen berechnen --> f(x)=0

$\begin{matrix} 0,5x^3-2x&=& 0 \\ \ x(0,5x^2-2)& =& 0\\ \ x=0 ; 0,5x^2-2& =& 0\\ \ x& =& \pm2 \end{matrix}$

2.) Vorzeichen der jeweiligen Teilflächen bestimmen

für $-1 \le x \le 0$ gilt $f(x) \ge 0$ ---> denn f(-1)=1,5

für $0 \le x \le 2$ gilt $f(x) \le 0$ ---> denn f(1)=-1,5

für $2 \le x \le 2,5$ gilt $f(x) \ge 0$ ---> denn f(2,3)=1,4835

3.) Flächeninhalt berechnen

$\begin{matrix} A&=& \int_{-1}^{0} 0,5x^3-2x\, dx+\int_{0}^{2} 0,5x^3-2x\, dx+\int_{2}^{2,5} 0,5x^3-2x\, dx \\ \ & =& [\frac{1}{8}x^4-x^2]+[\frac{1}{8}x^4-x^2]+[\frac{1}{8}x^4-x^2] \\ \ & =& (0-(-\frac{7}{8}))+(|-2-0|)+(-\frac{175}{128})-(-2) \\ \ & =& \frac{7}{8}+2+\frac{81}{128} \\ \ & =& 3,51 \end{matrix}$

Der Flächeninhalt beträgt ungefähr A=3,51

Flächen zwischen zwei Graphen f und g

Falls sich die Graphen f und g schneiden, gilt teilweise $f(x) \ge g(x)$ und teilweise $g(x) \ge f(x)$.

Zur Bestimmung von A geht man deshalb so vor:

1.) Berechnung der Schnittpunkte von f und g (gleichsetzen!)

2.) Bestimmung, in welchen Teilintervallen $f(x) \ge g(x)$ bzw. $g(x) \ge f(x)$ gilt.

3.) Berechnung des Flächeninhalts

$A=\int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx+\int_{b}^{c} g(x)-f(x)\, dx$