Ableitungsregeln.: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 9. Dezember 2013, 10:33 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Ableitungsregeln

Ableitungsregeln

Potenzregel

$f\!(x)=x^n$

=> $f\!\,'(x)=nx^{n-1}$

Beispiel

$f\!(x)=x^2$

=> $f\!\,'(x)=2x^{2-1}=$ $\!\,\boldsymbol{\underline{\underline{2x}}}$

Summenregel

$f\!(x)=g(x)+h(x)$

=> $f\!\,'(x)=g'(x)+h'(x)$

Beispiel

$f\!(x)=x^3+x^2$

=> $f\!\,'(x)= (x^3)' + (x^2)' = \boldsymbol{\underline{\underline{3x^2 + 2x}}}$

Faktorregel

$f\!(x)=k \cdot g(x)$

=> $f\!\,'(x)=k \cdot g'(x)$

Beispiel

$f\!(x)=6x^5$

=> $f\!\,'(x)=6*5x^{(5-1)} = \boldsymbol{\underline{\underline{30x^4}}}$

Differenzregel

$f\!(x)=g(x)-h(x)$

=> $f\!\,'(x)=g'(x)-h'(x)$

Beispiel

$f\!(x)=x^9-x^7$

=> $f\!\,'(x)= (x^9)' - (x^7)' = \boldsymbol{\underline{\underline{9x^8 - 7x^6}}}$

Produktregel

$f\!(x)=u(x) \cdot v(x)$

=> $f\!\,'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$

Beispiel 1

$f\!(x)=(4x^3-2x+1) \cdot (x^2-2x+5)$

$\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=4x^3-2x+1\\ v(x)=x^2-2x+5 \end{cases}$

$\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=12x^2-2\\ v'(x)=2x-2 \end{cases}$

$f\!\,'(x)=(12x^2-2) \cdot (x^2-2x+5)+(4x^3-2x+1) \cdot (2x-2)$

$f\!\,'(x)=12x^4-24x^3+60x^2-2x^2+4x-10+8x^4-8x^3-4x^2+4x+2x-2$

$f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{20x^4-32x^3+54x^2+10x-12}}}$

Beispiel 2

$f\!(x)=x^n \cdot e^{x}$

$\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=x^n\\ v(x)=e^{x} \end{cases}$

$\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=n \cdot x^{n-1}\\ v'(x)=e^{x} \end{cases}$

$f\!\,'(x)=(n \cdot x^{n-1}) \cdot (e^{x})+(x^n) \cdot (e^{x})$

$f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1} \cdot e^{x} \cdot (n+x)}}}$

Quotientenregel

$f\!(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

=> $f\!\,'(x)=\frac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}$

Beispiel

$f\!(x)=\frac{1-2x}{4+3x^2}$

$\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=1-2x\\ v(x)=4+3x^2 \end{cases}$

$\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile} \begin{cases} u'(x)=-2\\ v'(x)=6x \end{cases}$

$f\!\,'(x)=\frac{(-2) \cdot (4+3x^2)-(1-2x) \cdot (6x)}{(4+3x^2)^2}$

$f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\frac{6x^2-6x-8}{(4+3x^2)^2}}}}$

Kettenregel

$f\!(x)=g(h(x))$ bzw. $f\!(x)=g(u)$ mit $u=h\!(x)$

=> $f\!\,'(x)=h'(u) \cdot g'(h(x))$

Die Ableitung von einer verketteten Funktion wird grob gesagt gebildet, indem man erst die äußere Ableitung und dann die innere bildet.

Beispiel

$f\!(x) = (x^2 + 2x)^2$
$f\! '(x) = 2(x^2 + 2x)*(2x + 2)$

Hilfestellung

$f\!(x) = u(v(x))$
$f\! '(x) = u'(v(x)) * v'(x)$

Beispiel von oben: $f\! (x) = (x^2 + 2x)^2$

$u\! = ()^2$ $u\! ' = 2()$
$v\! = x^2+2x$ $v\! ' = 2x+2$

$f\! '(x) =2(x^2 + 2x)*(2x + 2)$
Also: $f\! '(x) = u' (v(x)) * v'(x)$

Umkehrregel

$x=g(y)\ Umkehrfunktion\ von\ y=f(x)$

$=>\ g'(y)= \frac{1}{f'(x)}$

Ableitungen (Ableitungsfunktionen) spezieller Funktionen

$\!f(x)$	$\!f'(x)$	$\!f''(x)$
$\!a= konstante Zahl$	$\!0$	$\!0$
$\!x^n$	$\!nx^{(n-1)}$	$\!n(n-1)x^{(n-2)}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$-\frac{1}{4x\sqrt{x}}$
$\!e^x$	$\!e^x$	$\!e^x$
$\!a^x$	$\!a^x*ln\ a$	$\!a^x*(ln\ a)^2$
$\! log_a x$	$\! \frac{1}{x*ln\ a}$	$\! \frac{-1}{x^2*ln\ a}$
$\! ln\ x$	$\! \frac{1}{x}$	$\! -\frac{1}{x^2}$

@@ Zeile 49: / Zeile 49: @@
 <math>f\!(x)=g(x)-h(x)</math>
-=> <math>f\!\,'(x)=g'(x)-h'(h)</math>
+=> <math>f\!\,'(x)=g'(x)-h'(x)</math>
@@ Zeile 56: / Zeile 56: @@
 <math>f\!(x)=x^9-x^7</math>
-=> <math>f\!\,'(x)= (x^9)' - (x^7)' = \boldsymbol{\underline{\underline{9x^8 + 7x^6}}} </math>
+=> <math>f\!\,'(x)= (x^9)' - (x^7)' = \boldsymbol{\underline{\underline{9x^8 - 7x^6}}} </math>
 === Produktregel ===
@@ Zeile 93: / Zeile 91: @@
-==== Beispiel 2 ====
-<math>f\!(x)=\sin(x) \cdot \cos(x)</math>
+==== Beispiel 2 ====
-<math>\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases}
-u(x)=\sin(x)\\
-v(x)=\cos(x)
-\end{cases}</math>
-<math>\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases}
-u'(x)=\cos(x)\\
-v'(x)=-\sin(x)
-\end{cases}</math>
-<math>f\!\,'(x)=\cos(x) \cdot \cos(x)+\sin(x) \cdot (-\sin(x))</math>
-<math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\cos^2(x)-\sin^2(x)}}}</math>
-==== Beispiel 3 ====
@@ Zeile 135: / Zeile 113: @@
 <math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1} \cdot e^{x} \cdot (n+x)}}}</math>
 === Quotientenregel ===
@@ Zeile 179: / Zeile 155: @@
 Die Ableitung von einer verketteten Funktion wird grob gesagt gebildet, indem man erst die äußere Ableitung und dann die innere bildet.
-==== Beispiel 1 ====
+==== Beispiel ====
 <math>f\!(x) = (x^2 + 2x)^2</math> <br />
 <math>f\! '(x) = 2(x^2 + 2x)*(2x + 2) </math>
-==== Beispiel 2 ====
-<math>f\!(x)= sin (2x)</math>
-<math>f\! '(x) = cos (2x) * 2</math>
 ==== Hilfestellung ====
@@ Zeile 194: / Zeile 165: @@
 <math>f\! '(x) = u'(v(x)) * v'(x)</math>
-'''Beispiel von oben (2):'''
+'''Beispiel von oben:'''
+<math>f\! (x) = (x^2 + 2x)^2</math>
-<math>f\! (x) = sin (2x)</math>
+<math>u\!  =  ()^2</math><math>u\! ' = 2()</math> <br />
+<math>v\! = x^2+2x </math><math>v\! ' = 2x+2</math>
-<math>u\!  = sin </math>         <math>u\! ' = cos</math> <br />
-<math>v\! = 2x </math>           <math>v\! ' = 2</math>
+<math>f\! '(x) =2(x^2 + 2x)*(2x + 2) </math><br />
-<math>f\! '(x) = cos (2x) * 2</math><br />
 Also: <math>f\! '(x) = u'  (v(x)) * v'(x)</math>
 === Umkehrregel ===
-<math>f\!^-\,^1(y)\ \mathrm{sei\ die\ Umkerhfunktion\ zu\ y=f(x)}</math>
+<math>x=g(y)\ Umkehrfunktion\ von\ y=f(x)</math>
-<math>(\!f\!^-\,^1)'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}\ \mathrm{oder}\ (\!f\!^-\,^1)'(f\!(x)) \cdot f\!\,'(x)=1</math>
-==== Beispiel ====
+<math>=>\ g'(y)= \frac{1}{f'(x)}</math>
 === Ableitungen (Ableitungsfunktionen) spezieller Funktionen ===
@@ Zeile 226: / Zeile 191: @@
 ! <math>\!f''(x)</math>
 |-
-| a= konstante Zahl
+| <math>\!a= konstante Zahl</math>
-| 0
+| <math>\!0</math>
-| 0
+| <math>\!0</math>
 |-
-| <math>x^n</math>
+| <math>\!x^n</math>
-| <math>nx^{(n-1)}</math>
+| <math>\!nx^{(n-1)}</math>
-| <math>n(n-1)x^{(n-2)}</math>
+| <math>\!n(n-1)x^{(n-2)}</math>
 |-
 | <math>\sqrt{x}</math>
@@ Zeile 238: / Zeile 203: @@
 | <math>-\frac{1}{4x\sqrt{x}}</math>
 |-
-| Element
+| <math>\!e^x</math>
-| Element
+| <math>\!e^x</math>
-| Element
+| <math>\!e^x</math>
 |-
-| Element
+| <math>\!a^x</math>
-| Element
+| <math>\!a^x*ln\ a</math>
-| Element
+| <math>\!a^x*(ln\ a)^2</math>
 |-
-| Element
+| <math>\! log_a x</math>
-| Element
+| <math>\! \frac{1}{x*ln\ a}</math>
-| Element
+| <math>\! \frac{-1}{x^2*ln\ a}</math>
 |-
-| Element
+| <math>\! ln\ x</math>
-| Element
+| <math>\! \frac{1}{x}</math>
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+| <math>\! -\frac{1}{x^2}</math>
 |-
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 |}
+[[Kategorie:Funktionen]]

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