Ableitungsregeln.: Unterschied zwischen den Versionen

Aus KAS-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Beispiel 2)
K (→‎Differenzregel)
 
(5 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 49: Zeile 49:
 
<math>f\!(x)=g(x)-h(x)</math>
 
<math>f\!(x)=g(x)-h(x)</math>
  
−
=> <math>f\!\,'(x)=g'(x)-h'(h)</math>
+
=> <math>f\!\,'(x)=g'(x)-h'(x)</math>
  
  
Zeile 56: Zeile 56:
 
<math>f\!(x)=x^9-x^7</math>
 
<math>f\!(x)=x^9-x^7</math>
  
−
=> <math>f\!\,'(x)= (x^9)' - (x^7)' = \boldsymbol{\underline{\underline{9x^8 + 7x^6}}} </math>
+
=> <math>f\!\,'(x)= (x^9)' - (x^7)' = \boldsymbol{\underline{\underline{9x^8 - 7x^6}}} </math>
−
 
+
−
 
+
  
 
=== Produktregel ===
 
=== Produktregel ===
Zeile 95: Zeile 93:
  
  
−
==== Beispiel 3 ====
+
==== Beispiel 2 ====
  
  
Zeile 115: Zeile 113:
  
 
<math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1} \cdot e^{x} \cdot (n+x)}}}</math>
 
<math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1} \cdot e^{x} \cdot (n+x)}}}</math>
−
 
−
 
  
 
=== Quotientenregel ===
 
=== Quotientenregel ===
Zeile 159: Zeile 155:
 
Die Ableitung von einer verketteten Funktion wird grob gesagt gebildet, indem man erst die äußere Ableitung und dann die innere bildet.
 
Die Ableitung von einer verketteten Funktion wird grob gesagt gebildet, indem man erst die äußere Ableitung und dann die innere bildet.
  
−
==== Beispiel 1 ====
+
==== Beispiel ====
 
<math>f\!(x) = (x^2 + 2x)^2</math> <br />
 
<math>f\!(x) = (x^2 + 2x)^2</math> <br />
 
<math>f\! '(x) = 2(x^2 + 2x)*(2x + 2) </math>
 
<math>f\! '(x) = 2(x^2 + 2x)*(2x + 2) </math>
  
−
==== Beispiel 2 ====
 
−
 
−
<math>f\!(x)= sin (2x)</math>
 
−
 
−
<math>f\! '(x) = cos (2x) * 2</math>
 
  
 
==== Hilfestellung ====
 
==== Hilfestellung ====
Zeile 174: Zeile 165:
 
<math>f\! '(x) = u'(v(x)) * v'(x)</math>
 
<math>f\! '(x) = u'(v(x)) * v'(x)</math>
  
−
'''Beispiel von oben (2):'''
+
'''Beispiel von oben:'''
−
 
+
<math>f\! (x) = (x^2 + 2x)^2</math>
−
<math>f\! (x) = sin (2x)</math>
+
  
−
<math>u\!  = sin </math>         <math>u\! ' = cos</math> <br />
+
<math>u\!  = ()^2</math><math>u\! ' = 2()</math> <br />
−
<math>v\! = 2x </math>           <math>v\! ' = 2</math>  
+
<math>v\! = x^2+2x </math><math>v\! ' = 2x+2</math>  
  
  
−
<math>f\! '(x) = cos (2x) * 2</math><br />
+
<math>f\! '(x) =2(x^2 + 2x)*(2x + 2) </math><br />
 
Also: <math>f\! '(x) = u'  (v(x)) * v'(x)</math>
 
Also: <math>f\! '(x) = u'  (v(x)) * v'(x)</math>
  
Zeile 220: Zeile 210:
 
| <math>\!a^x*ln\ a</math>
 
| <math>\!a^x*ln\ a</math>
 
| <math>\!a^x*(ln\ a)^2</math>
 
| <math>\!a^x*(ln\ a)^2</math>
−
|-
 
−
| <math>\!\sin x</math>
 
−
| <math>\!\cos x</math>
 
−
| <math>\!-\sin x</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\! \cos x</math>
 
−
| <math>\! -\sin x</math>
 
−
| <math>\! -\cos x</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\!\tan x </math>
 
−
| <math>\!\frac{1}{\cos^2 x}</math><math>\!= 1+\tan^2 x</math>
 
−
| <math>\! 2\tan x(1+\tan^2 x)</math>
 
 
|-
 
|-
 
| <math>\! log_a x</math>
 
| <math>\! log_a x</math>
Zeile 242: Zeile 220:
 
|-
 
|-
 
|}
 
|}
 +
 +
[[Kategorie:Funktionen]]

Aktuelle Version vom 9. Dezember 2013, 10:33 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Ableitungsregeln

Potenzregel

f\!(x)=x^n

=> f\!\,'(x)=nx^{n-1}


Beispiel

f\!(x)=x^2

=> f\!\,'(x)=2x^{2-1}=\!\,\boldsymbol{\underline{\underline{2x}}}

Summenregel

f\!(x)=g(x)+h(x)

=> f\!\,'(x)=g'(x)+h'(x)


Beispiel

f\!(x)=x^3+x^2

=> f\!\,'(x)= (x^3)' + (x^2)' = \boldsymbol{\underline{\underline{3x^2 + 2x}}}


Faktorregel

f\!(x)=k \cdot g(x)

=> f\!\,'(x)=k \cdot g'(x)


Beispiel

f\!(x)=6x^5

=> f\!\,'(x)=6*5x^{(5-1)} = \boldsymbol{\underline{\underline{30x^4}}}


Differenzregel

f\!(x)=g(x)-h(x)

=> f\!\,'(x)=g'(x)-h'(x)


Beispiel

f\!(x)=x^9-x^7

=> f\!\,'(x)= (x^9)' - (x^7)' = \boldsymbol{\underline{\underline{9x^8 - 7x^6}}}

Produktregel

f\!(x)=u(x) \cdot v(x)

=> f\!\,'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)


Beispiel 1

f\!(x)=(4x^3-2x+1) \cdot (x^2-2x+5)


\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=4x^3-2x+1\\ v(x)=x^2-2x+5 \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=12x^2-2\\ v'(x)=2x-2 \end{cases}


f\!\,'(x)=(12x^2-2) \cdot (x^2-2x+5)+(4x^3-2x+1) \cdot (2x-2)

f\!\,'(x)=12x^4-24x^3+60x^2-2x^2+4x-10+8x^4-8x^3-4x^2+4x+2x-2

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{20x^4-32x^3+54x^2+10x-12}}}



Beispiel 2

f\!(x)=x^n \cdot e^{x}

\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=x^n\\ v(x)=e^{x} \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=n \cdot x^{n-1}\\ v'(x)=e^{x} \end{cases}


f\!\,'(x)=(n \cdot x^{n-1}) \cdot (e^{x})+(x^n) \cdot (e^{x})

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1} \cdot e^{x} \cdot (n+x)}}}

Quotientenregel

f\!(x)=\frac{u(x)}{v(x)}

=> f\!\,'(x)=\frac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}


Beispiel

f\!(x)=\frac{1-2x}{4+3x^2}

\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=1-2x\\ v(x)=4+3x^2 \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile} \begin{cases} u'(x)=-2\\ v'(x)=6x \end{cases}


f\!\,'(x)=\frac{(-2) \cdot (4+3x^2)-(1-2x) \cdot (6x)}{(4+3x^2)^2}

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\frac{6x^2-6x-8}{(4+3x^2)^2}}}}


Kettenregel

f\!(x)=g(h(x)) bzw. f\!(x)=g(u) mit u=h\!(x)

=> f\!\,'(x)=h'(u) \cdot g'(h(x))

Die Ableitung von einer verketteten Funktion wird grob gesagt gebildet, indem man erst die äußere Ableitung und dann die innere bildet.

Beispiel

f\!(x) = (x^2 + 2x)^2
f\! '(x) = 2(x^2 + 2x)*(2x + 2)


Hilfestellung

f\!(x) = u(v(x))
f\! '(x) = u'(v(x)) * v'(x)

Beispiel von oben: f\! (x) = (x^2 + 2x)^2

u\! = ()^2u\! ' = 2()
v\! = x^2+2x v\! ' = 2x+2


f\! '(x) =2(x^2 + 2x)*(2x + 2)
Also: f\! '(x) = u' (v(x)) * v'(x)

Umkehrregel

x=g(y)\ Umkehrfunktion\ von\ y=f(x)

=>\ g'(y)= \frac{1}{f'(x)}

Ableitungen (Ableitungsfunktionen) spezieller Funktionen

\!f(x) \!f'(x) \!f''(x)
\!a= konstante Zahl \!0 \!0
\!x^n \!nx^{(n-1)} \!n(n-1)x^{(n-2)}
\sqrt{x} \frac{1}{2\sqrt{x}} -\frac{1}{4x\sqrt{x}}
\!e^x \!e^x \!e^x
\!a^x \!a^x*ln\ a \!a^x*(ln\ a)^2
\! log_a x \! \frac{1}{x*ln\ a} \! \frac{-1}{x^2*ln\ a}
\! ln\ x \! \frac{1}{x} \! -\frac{1}{x^2}
Von „http://kas.zum.de/index.php?title=Ableitungsregeln.&oldid=34595“