Ableitungsregeln.: Unterschied zwischen den Versionen

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=> <math>f\!\,'(x)= (x^9)' - (x^7)' = \boldsymbol{\underline{\underline{9x^8 + 7x^6}}} </math>
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=== Produktregel ===
 
=== Produktregel ===
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Die Ableitung von einer verketteten Funktion wird grob gesagt gebildet, indem man erst die äußere Ableitung und dann die innere bildet.
 
Die Ableitung von einer verketteten Funktion wird grob gesagt gebildet, indem man erst die äußere Ableitung und dann die innere bildet.
  
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==== Beispiel 1 ====
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==== Beispiel ====
 
<math>f\!(x) = (x^2 + 2x)^2</math> <br />
 
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<math>f\! '(x) = 2(x^2 + 2x)*(2x + 2) </math>
 
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==== Beispiel 2 ====
 
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<math>f\!(x)= sin (2x)</math>
 
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==== Hilfestellung ====
 
==== Hilfestellung ====
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<math>f\! '(x) = u'(v(x)) * v'(x)</math>
 
<math>f\! '(x) = u'(v(x)) * v'(x)</math>
  
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'''Beispiel von oben:'''
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<math>f\! (x) = (x^2 + 2x)^2</math>
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<math>f\! (x) = sin (2x)</math>
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<math>u\!  = sin </math>         <math>u\! ' = cos</math> <br />
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<math>u\!  = ()^2</math><math>u\! ' = 2()</math> <br />
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<math>v\! = 2x </math>           <math>v\! ' = 2</math>  
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<math>v\! = x^2+2x </math><math>v\! ' = 2x+2</math>  
  
  
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<math>f\! '(x) = cos (2x) * 2</math><br />
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<math>f\! '(x) =2(x^2 + 2x)*(2x + 2) </math><br />
 
Also: <math>f\! '(x) = u'  (v(x)) * v'(x)</math>
 
Also: <math>f\! '(x) = u'  (v(x)) * v'(x)</math>
  
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Aktuelle Version vom 9. Dezember 2013, 10:33 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Ableitungsregeln

Potenzregel

f\!(x)=x^n

=> f\!\,'(x)=nx^{n-1}


Beispiel

f\!(x)=x^2

=> f\!\,'(x)=2x^{2-1}=\!\,\boldsymbol{\underline{\underline{2x}}}

Summenregel

f\!(x)=g(x)+h(x)

=> f\!\,'(x)=g'(x)+h'(x)


Beispiel

f\!(x)=x^3+x^2

=> f\!\,'(x)= (x^3)' + (x^2)' = \boldsymbol{\underline{\underline{3x^2 + 2x}}}


Faktorregel

f\!(x)=k \cdot g(x)

=> f\!\,'(x)=k \cdot g'(x)


Beispiel

f\!(x)=6x^5

=> f\!\,'(x)=6*5x^{(5-1)} = \boldsymbol{\underline{\underline{30x^4}}}


Differenzregel

f\!(x)=g(x)-h(x)

=> f\!\,'(x)=g'(x)-h'(x)


Beispiel

f\!(x)=x^9-x^7

=> f\!\,'(x)= (x^9)' - (x^7)' = \boldsymbol{\underline{\underline{9x^8 - 7x^6}}}

Produktregel

f\!(x)=u(x) \cdot v(x)

=> f\!\,'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)


Beispiel 1

f\!(x)=(4x^3-2x+1) \cdot (x^2-2x+5)


\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=4x^3-2x+1\\ v(x)=x^2-2x+5 \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=12x^2-2\\ v'(x)=2x-2 \end{cases}


f\!\,'(x)=(12x^2-2) \cdot (x^2-2x+5)+(4x^3-2x+1) \cdot (2x-2)

f\!\,'(x)=12x^4-24x^3+60x^2-2x^2+4x-10+8x^4-8x^3-4x^2+4x+2x-2

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{20x^4-32x^3+54x^2+10x-12}}}



Beispiel 2

f\!(x)=x^n \cdot e^{x}

\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=x^n\\ v(x)=e^{x} \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=n \cdot x^{n-1}\\ v'(x)=e^{x} \end{cases}


f\!\,'(x)=(n \cdot x^{n-1}) \cdot (e^{x})+(x^n) \cdot (e^{x})

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1} \cdot e^{x} \cdot (n+x)}}}

Quotientenregel

f\!(x)=\frac{u(x)}{v(x)}

=> f\!\,'(x)=\frac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}


Beispiel

f\!(x)=\frac{1-2x}{4+3x^2}

\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=1-2x\\ v(x)=4+3x^2 \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile} \begin{cases} u'(x)=-2\\ v'(x)=6x \end{cases}


f\!\,'(x)=\frac{(-2) \cdot (4+3x^2)-(1-2x) \cdot (6x)}{(4+3x^2)^2}

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\frac{6x^2-6x-8}{(4+3x^2)^2}}}}


Kettenregel

f\!(x)=g(h(x)) bzw. f\!(x)=g(u) mit u=h\!(x)

=> f\!\,'(x)=h'(u) \cdot g'(h(x))

Die Ableitung von einer verketteten Funktion wird grob gesagt gebildet, indem man erst die äußere Ableitung und dann die innere bildet.

Beispiel

f\!(x) = (x^2 + 2x)^2
f\! '(x) = 2(x^2 + 2x)*(2x + 2)


Hilfestellung

f\!(x) = u(v(x))
f\! '(x) = u'(v(x)) * v'(x)

Beispiel von oben: f\! (x) = (x^2 + 2x)^2

u\! = ()^2u\! ' = 2()
v\! = x^2+2x v\! ' = 2x+2


f\! '(x) =2(x^2 + 2x)*(2x + 2)
Also: f\! '(x) = u' (v(x)) * v'(x)

Umkehrregel

x=g(y)\ Umkehrfunktion\ von\ y=f(x)

=>\ g'(y)= \frac{1}{f'(x)}

Ableitungen (Ableitungsfunktionen) spezieller Funktionen

\!f(x) \!f'(x) \!f''(x)
\!a= konstante Zahl \!0 \!0
\!x^n \!nx^{(n-1)} \!n(n-1)x^{(n-2)}
\sqrt{x} \frac{1}{2\sqrt{x}} -\frac{1}{4x\sqrt{x}}
\!e^x \!e^x \!e^x
\!a^x \!a^x*ln\ a \!a^x*(ln\ a)^2
\! log_a x \! \frac{1}{x*ln\ a} \! \frac{-1}{x^2*ln\ a}
\! ln\ x \! \frac{1}{x} \! -\frac{1}{x^2}
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