Affine Abbildungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus KAS-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Definition:)
(Definition:)
Zeile 27: Zeile 27:
 
| Abbildung || Flächeninhalt || Fixpunkte, Fixgeraden || Matrixdarstellung
 
| Abbildung || Flächeninhalt || Fixpunkte, Fixgeraden || Matrixdarstellung
 
|-  
 
|-  
| Spiegelung || A bleibt gleich || (0/0) Spiegelgerade (Fixgerade) || <math>M=\begin{pmatrix} cos2\varphi & sin2\varphi \\ sin2\varphi & -cos2\varphi \end{pmatrix}</math>
+
| Spiegelung an der Ursprungsgeraden || A bleibt gleich || (0/0) Spiegelgerade (Fixgerade) || <math>M=\begin{pmatrix} cos2\varphi & sin2\varphi \\ sin2\varphi & -cos2\varphi \end{pmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| zentrische Streckung || <math>\!A'= 3^2A</math> || (0/0) x-und y-Achse jede Gerade <math>y=a*x</math> || <math>M*\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}</math>
 
| zentrische Streckung || <math>\!A'= 3^2A</math> || (0/0) x-und y-Achse jede Gerade <math>y=a*x</math> || <math>M*\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}</math>
Zeile 37: Zeile 37:
 
| Scherung || <math>\!A'=A</math> || (0/0) x- oder y-Achse
 
| Scherung || <math>\!A'=A</math> || (0/0) x- oder y-Achse
 
|}
 
|}
 +
<math>\varphi</math> ist der Winkel, um den die Funktion gespiegelt bzw. gedreht wird.

Version vom 7. Dezember 2009, 09:33 Uhr

Definition:

Eine geradentreue und umkehrbare geometrische Abbildung der Ebene auf sich selbst nennt man eine affine Abbildung oder Affinität.

Die affine Abbildung bildet ein neues Koordinatensystem.

Die einzelnen Spalten der Matrix dürfen nicht linear abhängig sein.

A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}

\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

A*\vec x

\vec x\,'=A*\vec x+\vec c

LGS:

\vec x_1\,'=a_1x_1*b_1x_2+c_1

\vec x_2\,'=a_2x_1+b_2x_2+c_2


Abbildung Flächeninhalt Fixpunkte, Fixgeraden Matrixdarstellung
Spiegelung an der Ursprungsgeraden A bleibt gleich (0/0) Spiegelgerade (Fixgerade) M=\begin{pmatrix} cos2\varphi & sin2\varphi \\ sin2\varphi & -cos2\varphi \end{pmatrix}
zentrische Streckung \!A'= 3^2A (0/0) x-und y-Achse jede Gerade y=a*x M*\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
Drehung A bleibt gleich (0/0) M=\begin{pmatrix} cos\varphi & sin\varphi \\ -sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}
Skalierung \!A'=2*4A (0/0) x- und y-Achse
Scherung \!A'=A (0/0) x- oder y-Achse

\varphi ist der Winkel, um den die Funktion gespiegelt bzw. gedreht wird.