Affine Abbildungen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus KAS-Wiki
(Die Seite wurde neu angelegt: === Definition: === Eine geradentreue und umkehrbare geometrische Abbildung der Ebene auf sich selbst nennt man eine affine Abbildung oder Affinität. Die affine Ab...) |
(farbige Überschrift) |
||
(6 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 6: | Zeile 6: | ||
Die einzelnen Spalten der Matrix dürfen nicht linear abhängig sein. | Die einzelnen Spalten der Matrix dürfen nicht linear abhängig sein. | ||
− | |||
− | |||
<math>A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}</math> | <math>A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}</math> | ||
Zeile 13: | Zeile 11: | ||
<math>\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} | <math>\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
+ | |||
+ | <math>A*\vec x</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\vec x\,'=A*\vec x+\vec c</math> | ||
+ | |||
+ | LGS: | ||
+ | |||
+ | <math>\vec x_1\,'=a_1x_1*b_1x_2+c_1</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\vec x_2\,'=a_2x_1+b_2x_2+c_2</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {| class="wikitable" | ||
+ | |- | ||
+ | ! Abbildung || Flächeninhalt || Fixpunkte, Fixgeraden || Matrixdarstellung | ||
+ | |- | ||
+ | | Spiegelung an der Ursprungsgeraden || A bleibt gleich || (0/0) Spiegelgerade (Fixgerade) || <math>M=\begin{pmatrix} cos2\varphi & sin2\varphi \\ sin2\varphi & -cos2\varphi \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | zentrische Streckung || <math>\!A'= 3^2A</math> || (0/0) x-und y-Achse jede Gerade <math>y=a*x</math> || <math>M*\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | Drehung || A bleibt gleich || (0/0) || <math>M=\begin{pmatrix} cos\varphi & sin\varphi \\ -sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | Skalierung || <math>\!A'=2*4A</math> || (0/0) x- und y-Achse | ||
+ | |- | ||
+ | | Scherung || <math>\!A'=A</math> || (0/0) x- oder y-Achse | ||
+ | |} | ||
+ | <math>\varphi</math> ist der Winkel, um den die Funktion gespiegelt bzw. gedreht wird. |
Aktuelle Version vom 7. Dezember 2009, 17:57 Uhr
Definition:
Eine geradentreue und umkehrbare geometrische Abbildung der Ebene auf sich selbst nennt man eine affine Abbildung oder Affinität.
Die affine Abbildung bildet ein neues Koordinatensystem.
Die einzelnen Spalten der Matrix dürfen nicht linear abhängig sein.
LGS:
Abbildung | Flächeninhalt | Fixpunkte, Fixgeraden | Matrixdarstellung |
---|---|---|---|
Spiegelung an der Ursprungsgeraden | A bleibt gleich | (0/0) Spiegelgerade (Fixgerade) | |
zentrische Streckung | (0/0) x-und y-Achse jede Gerade | ||
Drehung | A bleibt gleich | (0/0) | |
Skalierung | (0/0) x- und y-Achse | ||
Scherung | (0/0) x- oder y-Achse |
ist der Winkel, um den die Funktion gespiegelt bzw. gedreht wird.