Bezug Produktsumme und Stammfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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h= Breite des Rechtecks <br>
 
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Version vom 9. April 2011, 22:23 Uhr

Ober- Untergrenze.jpg

h= Breite des Rechtecks
h=\frac{b}{n}
b= Grenze
n= Anzahl der Rechtecke

Wählt man die Höhe so, dass h=\frac{b}{n} kann man die Untersumme folgendermaßen bestimmen:
sn= \frac {b}{n}*0+\frac {b}{n}*f(1*\frac {b} {n})+ \frac {b}{n}*f(2*\frac {b}{n})+ ... + \frac {b}{n}*f(n-1)*\frac {b}{n}

Die Formel setzt sich ganz einfach zusammen. Um die Fläche eines gewählten Balkens unter dem Graphen von x^2 zu berechnen, benutzt man die Formal zur Rechtecksberechnung.
In diesem Fall multipliziert man \frac{b}{n} mit dem Funktionswert f von 1*\frac{b}{n}. Um auf die Untersumme zu gelangen addiert man jeweils alle Streifen miteinander bis zur Grenze b.
Man fragt sich jetzt sicherlich warum \frac {b}{n}*f(n-1)*\frac {b}{n} als letztes steht.
Auch das ist klar zu verstehen, wenn man die obenstehende Grafik betrachtet:
Man erkennt, dass die Grenze, bis zu der wir die Fläche unter dem Graphen bestimmen wollen bei b liegt. Diese Grenze liegt bei der Untersumme bei \frac{b}{n}*f(n-1), d.h. mit \frac{b}{n}*f(n-1) berechnet man den letzten Streifen unter dem Graphen.

Setzt man jetzt f*(1\frac{b}{n}), f*(2\frac{b}{n}) usw. in die Funktion x^2 ein, so kommt man auf folgenden nächsten Schritt:
sn= \frac {b}{n}*[1^2\frac {b^2}{n^2}+ 2^2\frac {b^2}{n^2}+ ... + (n-1)^2\frac {b^2}{n^2}]
Ich habe \frac {b}{n} dabei ausgeklammert.
Im nächsten Schritt kann man weiterhin \frac {b^2}{n^2} vor die Klammer schreiben und man kommt zu folgender Schlussfolgerung:

sn= \frac {b^3}{n^3}*(1^2+2^2+ ... + (n-1)^2
Jetzt kommt die Formel für die Summe der ersten n-Quadratzahlen zum Gebrauch:
 1^2+2^2+...+n^2= \frac {1}{6}*n(n+1)*(2n+1)

Daraus folgt dann die Weiterführung dieser Formel: sn= \frac {b^3}{n^3}*(1^2+2^2+ ... + (n-1)^2
Für die Untersumme gilt (n-1), also setzt man für n=(n-1) ein.
Das sieht folgendermaßen aus:
sn= \frac {b^3}{n^3}*\frac{1}{6}*(n-1)*(n-1+1)*(2*8n-1)+1)
Zur Veranschaulichung werde ich diesen Term einmal Schritt für Schritt vereinfachen:
=\frac{1}{6}*\frac {b^3}{n^3}*(n-1)*n*(2n-1) =\frac{1}{6}*b^3(\frac{n-1}{n})*(\frac{n}{n})*(\frac{2n-1}{n}) =\frac{1}{6}*b^3*(1-\frac{1}{n})*(2-\frac{1}{n})
Man sieht, dass die Balken unter dem Graphen immer Größer werden und der Flächeninhalt nicht genau bestimmt werden kann, also bestimmt man das Verhalten in das Unendliche:
lim (n)--> Unendlich \frac{1}{6}*b^3*1*2=\frac{1}{3}*b^3
Nun fällt auf, dass \frac{1}{3}*b^3 die Aufleitung von x^2 ist und man hat fast nachgewiesen, dass die Produktsumme offensichtlich einen Bezug zur Stammfunktion darstellt.
Man muss nämlich noch die Obersumme in Betracht ziehen und das geschieht im Folgendem:
Es ist wesentlich einfacher diese Obersumme zu bestimmen, da die Höhe von der Obersumme mit der Grenze b übereinstimmt. Das heißt, dass man die Formel \frac{b^3}{n^3}*\frac {1}{6}*n(n+1)*(2n+1) nur vereinfach muss:
=\frac {1}{6}*b^3*\frac {n}{n}*(\frac {n+1}{n})*(\frac {2n+1}{n})
=\frac {1}{6}*b^3*(1+\frac {1}{n})*(2+\frac {1}{n})
Nun wieder das Verhalten ins Unendliche überprüfen:
lim(n) --> Unendlich \frac {1}{6}*b^3*1*2=\frac {1}{3}*b^3

Ober- und Untergrenze sind somit gleich (\frac {1}{3}*b^3) und die Fläche unter dem Graphen von x^2 ist genau (\frac {1}{3}*b^3).
Somit ist der Bezug von Produktsume zu Stammfunktion vollständig hergestellt und die Flächenberechnung kann durch die Aufleitung geschehen.