Darstellung von Geraden und Ebenen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus KAS-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Formumformungen)
(→‎Formumformungen)
Zeile 25: Zeile 25:
  
  
−
==== Formumformungen ====
+
=== Formumformungen ===
−
<u>
+
 
−
Parameterform in Koordinatenform:</u>
+
==== <u>Parameterform in Koordinatenform:</u> ====
  
 
<math>E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v  </math> <math>\longrightarrow</math> <math>\! E: ax+by+cz=d</math>
 
<math>E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v  </math> <math>\longrightarrow</math> <math>\! E: ax+by+cz=d</math>
Zeile 36: Zeile 36:
  
  
−
<u>
+
 
−
Parameterform in Normalenform</u>
+
==== <u>Parameterform in Normalenform</u> ====
  
 
<math>E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v  </math> <math>\longrightarrow</math> <math>[\vec n(\vec x - SV)]</math>
 
<math>E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v  </math> <math>\longrightarrow</math> <math>[\vec n(\vec x - SV)]</math>
Zeile 44: Zeile 44:
 
1) Normalenvektor finden durch <math>\vec n =\vec u \times \vec v</math><br />
 
1) Normalenvektor finden durch <math>\vec n =\vec u \times \vec v</math><br />
 
2) Der Stützvektor bleibt gleich<br />
 
2) Der Stützvektor bleibt gleich<br />
−
Also erhält man <math>[\vec u \times \vec v(\vec x - \vec p)]</math>
+
Zielgleichung: <math>[\vec u \times \vec v(\vec x - \vec p)]</math>
  
  
−
<u>
+
==== <u>Koordinatenform in Parameterform</u> ====
−
Koordinatenform in Parameterform</u>
+
  
 
Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.<br />
 
Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.<br />
−
Bei 2 Spurpunkten S<sub>x</sub>,s<sub>y</sub>: Ebene liegt parallel zur z damit ist der Richtungvektor <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}</math><br />
+
Bei 2 Spurpunkten S<sub>x</sub>,s<sub>y</sub>: Ebene liegt parallel zur <math>z</math> damit ist der Richtungvektor <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}</math><br />
 +
 
 +
 
 +
 
 +
==== <u>Koordinatenform in Normalenform</u> ====
 +
<math>\vec n</math>bestimmen durch Koeffizienten der Koordinatenform  <Math>\! E: ax+by+cz=d</math> also <math>\vec n=\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
Als Stützvektor wählt man einen Spurpunkt.
 +
 
 +
Zielgleichung: <math>[\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}(\vec x - Spurpunkt)]</math>
 +
 
 +
 
 +
==== <u>Normalenform in Koordinatenform</u> ====
  
 +
Ausmultiplizieren des Skalarprodukts.
  
−
<u>Koordinatenform in Normalenform</u>
+
Zielgleichung: <math>\!n_1ax+n_2by+n_3cz=0</math>

Version vom 3. Dezember 2009, 11:52 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Geraden

Eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert.

In der vektoriellen Darstellung ist eine Gerade durch einen Stützvektor \vec s und einen Richtungsvektor \vec r beschrieben.


Die Geradengleichung in Parameterform ist also:

g: \vec x=\vec s+t*\vec r


Bei zwei gegebenen Punkten A und B ist z.B. \vec a der Stützvektor und \overline {BA} der Richtungsvektor.



Ebenen

Eine Ebene wird durch zwei linear unabhängige Vektoren aufgespannt.

Die Parametergleichung für eine Ebene ist also:

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v (r, s \in \mathbb{R})


Formumformungen

Parameterform in Koordinatenform:

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v \longrightarrow \! E: ax+by+cz=d

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \vec p+r*\vec u+s* \vec v

Als Gleichungssystem lösen.


Parameterform in Normalenform

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v \longrightarrow [\vec n(\vec x - SV)]


1) Normalenvektor finden durch \vec n =\vec u \times \vec v
2) Der Stützvektor bleibt gleich
Zielgleichung: [\vec u \times \vec v(\vec x - \vec p)]


Koordinatenform in Parameterform

Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
Bei 2 Spurpunkten Sx,sy: Ebene liegt parallel zur z damit ist der Richtungvektor \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}


Koordinatenform in Normalenform

\vec nbestimmen durch Koeffizienten der Koordinatenform \! E: ax+by+cz=d also \vec n=\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}

Als Stützvektor wählt man einen Spurpunkt.

Zielgleichung: [\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}(\vec x - Spurpunkt)]


Normalenform in Koordinatenform

Ausmultiplizieren des Skalarprodukts.

Zielgleichung: \!n_1ax+n_2by+n_3cz=0

Von „http://kas.zum.de/index.php?title=Darstellung_von_Geraden_und_Ebenen&oldid=334“