Darstellung von Geraden und Ebenen.

Geraden

Eine Gerade ist eine unendlich lange und unendlich dünne Linie. Sie besitzt keine Eigenschaften, es besteht lediglich die Beziehung zu anderen Geraden, Punkten und Ebenen, die von Bedeutung sind.

Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form: $\vec x = \vec p + t \cdot \vec u$ beschreiben.

Die Gerade wird in der Parameterdarstellung beschrieben, indem ein Ortsvektor $\vec p$ auf einen beliebigen Punkt der Gerade gerichtet wird und zudem von diesem Punkt ein Richtungsvektor $\vec u$ den Verlauf der Geraden bestimmt.

Gegenseitige Lage von Geraden

Zwei Geraden können folgende Lagebeziehungen zueinander haben. Sie können:

• identisch sein: Beide Geraden haben alle Punkte gemeinsam. (Die Vektorengleichung hat unendlich viele Lösungen.)
• sich schneiden: Beide Geraden haben genau einen Punkt gemeinsam. (Die Vektorengleichung hat genau eine Lösung.) (linear unabhängig)
• zueinander parallel sein: Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam und lassen sich durch eine Verschiebung ineinander überführen. (linear abhängig)
• zueinander windschief sein: Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam, aber lassen sich nicht durch eine Verschiebung allein ineinander überführen. (linear unabhängig UND nur im R³)

Ebenen

Bei einer Ebene handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt.

Gegenseite Lage von Ebenen

Zwei Ebenen können folgende Lagebeziehungen zueinander haben. Sie können:

• sich schneiden: Beide Ebenen schneiden sich in einer Geraden. (Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.) (linear unabhängig)
• zueinander parallel sein: Beide Ebenen haben keine gemeinsamen Punkte. (Die Gleichung hat keine Lösung.) (linear abhängig)
• keine gemeinsamen Punkte haben

Normalgleichung

Die Normalgleichung einer Ebene hat die Form: $(\vec r - \vec a ) \cdot \vec n = 0$ (Der Operator $\cdot$ steht für das Skalarprodukt.)

Wobei $\vec n$ ein Normalenvektor der Ebene, $\vec a$ der Ortsvektor eines beliebigen Punktes ist, der in der Ebene liegt und $\vec r= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ der Vektor der Unbekannten ist.

Die Normalform ist eine Gleichung, die eine Ebene im dreidemensinalen Raum oder eine Gerade im zweidemensionalen Raum. Sie wird hauptsächlich für Abstandsberechnungen verwendet. In vektorieller Schreibweise lautet sie: $\vec r \cdot \vec n_0 - d = 0$

$\vec n_0$ ist der normierte Normalenvektor.

Koordinatenform

Die Koordinatenform ist eine Form der Ebenengleichung im Raum.

Sie sieht folgendermaßen aus: ${E: \ n_1 \cdot x_1+n_2 \cdot x_2+n_3 \cdot x_3=b}$.

Hierbei sind x1, x2 und x3 die Koordinaten im Raum, b ist eine reelle Zahl.

Bei n1, n2 und n3 handelt es sich um die Koordinaten eines zur Ebene gehörenden Normalenvektors $\vec n$.

Parameterform

Die Parameterform lässt sich durch eine Gleichung der Form: $\vec x = \vec p + r \cdot \vec u + s \cdot \vec v$ beschreiben.

Hierbei ist $\vec p$ ein Stützvektor un die linear unabhänigen Vektoreb $\vec u$ und $\vec v$ sind zwei Spannvektoren.

Umformungen

Von einer Parametergleichung zu einer Koordinatengleichung

Um eine Parametergleichung in eine Koordinatengleichung zu wandeln, führt man die folgenden Schritte durch:

1. Die Ebenengleichung aufschreiben
2. Die drei Gleichungen aufstellen
3. Das Gleichungssystem lösen
4. Die Ebenengleichung aufschreiben

Beispiel 1:

Mit der Parametergleichung stellen wir zunächst ein Gleichungssystem auf. Anschließend stellen wir die zweite Gleichung nach "r" um, die dritte Gleichung stellen wir nach "s" um. Die umgestellten Gleichungen setzen wir in die oberste Gleichung ein und vereinfachen diese. Hinweis: Wie ihr das Gleichungssystem löst, ist erst einmal egal. Hauptsache am Ende sind nur noch x, y und z in der Gleichung vorhanden.

Von einer Koordinatengleichung zu einer Parametergleichung

Um eine Koordinatengleichung in eine Parametergleichung zu wandeln, führen wir die folgenden Schritte durch:

1. Die Gleichung nach z auflösen
2. x = r und y = s setzen
3. Die Gleichungen notieren
4. Die Ebene in Parameterform notieren

Beispiel 1:

Die Gleichung 2x + y - z = 3 soll als Parametergleichung angegeben werden.

Lösung: Wir Lösen die Gleichung nach z auf, setzen x = r sowie y = s und schreiben uns die Gleichungen ausführlich hin. Diesen entnehmen wir die Daten für die Parameterform.