Abbau radioaktiver Substanzen im Körper: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein Kontrastmittel, das f¸r Rˆntgenaufnahmen gespritzt wird, reichert sich in der Leber an. Dort wird es mit einer Rate abgebaut, die proportional zur vorhandenen Menge des Kontrastmittels belastet.
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Ein Kontrastmittel, das für Röntgenaufnahmen gespritzt wird, reichert sich in der Leber an. Dort wird es mit einer Rate abgebaut, die proportional zur vorhandenen Menge des Kontrastmittels belastet.
 
Nach zwei Stunden lassen sich noch 0,747gr des Konstastmittels in der Leber nachweisen.
 
Nach zwei Stunden lassen sich noch 0,747gr des Konstastmittels in der Leber nachweisen.
* A) Stellen sie eiene Differenzialgleichung f¸r die Funktion m(t) auf, welche die Masse des Kontrastmittels in Abh‰ngigkeit von der Zeit beschreibt, und lˆsen sie diese!
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* A) Stellen Sie eigene Differenzialgleichung f¸r die Funktion m(t) auf, welche die Masse des Kontrastmittels in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, und lösen Sie diese!
* B) Man kann das obige Modell verfeinern, indem man annimmt, dass das Kontrastmittel ¸ber ein gewissen Zeitraum hinweg gleichm‰flig ¸ber den Blutstrom in die Leber gelangt.
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* B) Man kann das obige Modell verfeinern, indem man annimmt, dass das Kontrastmittel ¸ber ein gewissen Zeitraum hinweg gleichmäßig über den Blutstrom in die Leber gelangt.
 
Pro stunde werden 0,1gr zugef¸hrt.
 
Pro stunde werden 0,1gr zugef¸hrt.
 
Beschreiben sie diese Situation durch eine Differenzialgleichung und lˆsen sie diese.
 
Beschreiben sie diese Situation durch eine Differenzialgleichung und lˆsen sie diese.
 
* C) Als Kontastmittel wird das Radioaktiveelement Jod 131 verwendet, das eine Halbwertszeit von 8 Tagen besitzt. Bestimmen sie die Zerfallskonstante.
 
* C) Als Kontastmittel wird das Radioaktiveelement Jod 131 verwendet, das eine Halbwertszeit von 8 Tagen besitzt. Bestimmen sie die Zerfallskonstante.
 
* D) Zum Zeitpunkt t=0 ist genau 1mg Jod nachweisbar,nach einer gewissen Zeit sind es noch 0,298mg. Wie viel Zeit ist zwischen den Messungen vergangen?
 
* D) Zum Zeitpunkt t=0 ist genau 1mg Jod nachweisbar,nach einer gewissen Zeit sind es noch 0,298mg. Wie viel Zeit ist zwischen den Messungen vergangen?
* E)In einem anfangs leerem Gef‰fl,gelangen gleichm‰flig 0,1 mg Jod pro Stunde. Wie viel jod befindet sich nach, 2 Wochen im Gef‰fl?
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* E) In einem anfangs leerem Gef‰fl,gelangen gleichm‰flig 0,1 mg Jod pro Stunde. Wie viel jod befindet sich nach, 2 Wochen im Gef‰fl?
  
  
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*A) Sei m(t) die Funktion, die die Masse des Konstrastmittels zum Zeitpunkt t beschreibt und a die Abbaurate.
 
*A) Sei m(t) die Funktion, die die Masse des Konstrastmittels zum Zeitpunkt t beschreibt und a die Abbaurate.
 
Da nach Voraussetzung die Abbaurate proportional zur Masse ist, gilt also:
 
Da nach Voraussetzung die Abbaurate proportional zur Masse ist, gilt also:
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Die Abbaurate des Kontrastmittels betr‰gt demnach <math>a=-0,0020\frac{1}{[h]}</math>
 
Die Abbaurate des Kontrastmittels betr‰gt demnach <math>a=-0,0020\frac{1}{[h]}</math>
 
DGL: <math>m(t)=-0,002\cdot m(t)</math>
 
DGL: <math>m(t)=-0,002\cdot m(t)</math>
Lˆsung: <math>m(t)=c\cdot e^{-0,002\cdot t}= 0,75\cdot e^{0,002\cdot t}</math>
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Lösung: <math>m(t)=c\cdot e^{-0,002\cdot t}= 0,75\cdot e^{0,002\cdot t}</math>
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[[Kategorie:Wachstum]]

Version vom 26. Juni 2011, 16:37 Uhr

Ein Kontrastmittel, das für Röntgenaufnahmen gespritzt wird, reichert sich in der Leber an. Dort wird es mit einer Rate abgebaut, die proportional zur vorhandenen Menge des Kontrastmittels belastet. Nach zwei Stunden lassen sich noch 0,747gr des Konstastmittels in der Leber nachweisen.

  • A) Stellen Sie eigene Differenzialgleichung f¸r die Funktion m(t) auf, welche die Masse des Kontrastmittels in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, und lösen Sie diese!
  • B) Man kann das obige Modell verfeinern, indem man annimmt, dass das Kontrastmittel ¸ber ein gewissen Zeitraum hinweg gleichmäßig über den Blutstrom in die Leber gelangt.

Pro stunde werden 0,1gr zugef¸hrt. Beschreiben sie diese Situation durch eine Differenzialgleichung und lˆsen sie diese.

  • C) Als Kontastmittel wird das Radioaktiveelement Jod 131 verwendet, das eine Halbwertszeit von 8 Tagen besitzt. Bestimmen sie die Zerfallskonstante.
  • D) Zum Zeitpunkt t=0 ist genau 1mg Jod nachweisbar,nach einer gewissen Zeit sind es noch 0,298mg. Wie viel Zeit ist zwischen den Messungen vergangen?
  • E) In einem anfangs leerem Gef‰fl,gelangen gleichm‰flig 0,1 mg Jod pro Stunde. Wie viel jod befindet sich nach, 2 Wochen im Gef‰fl?


Lösungen:

  • A) Sei m(t) die Funktion, die die Masse des Konstrastmittels zum Zeitpunkt t beschreibt und a die Abbaurate.

Da nach Voraussetzung die Abbaurate proportional zur Masse ist, gilt also:

m'(t)=a\cdot m(t) mit der Lˆsung: m(t)=c\cdot e^{a\cdot t}, wobei c eine beliebige reelle Konstante und a eine negative reele Zahl ist, da es sich um eine Abbaurate handelt. Laut Aufgabenstellung gilt dann: m(0)=c\cdot e^0=c=0,75 Mit der zweiten Angabe zusammen kann man c wieder in die Gleichung einsetzen und erh‰lt: m(2)=0,75\cdot e^{2\cdot a}=0,747 \Leftrightarrow a= \frac{1}{2}\ln( \frac{747}{750}) \approx -0,0020  Die Abbaurate des Kontrastmittels betr‰gt demnach a=-0,0020\frac{1}{[h]} DGL: m(t)=-0,002\cdot m(t) Lösung: m(t)=c\cdot e^{-0,002\cdot t}= 0,75\cdot e^{0,002\cdot t}