Elementare Integration.: Unterschied zwischen den Versionen

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(Kategorie:Differential- und Integralrechnung)
 
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<br /><br />Durch integrieren werden die Flächen unterhalb oder zwischen den Graphen berechnet. Dazu muss man zuerst die gegebene Funktion aufleiten bzw. die Stammfunktion bilden.
 
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| f(x) = <math>x^2</math> || F(x) = <math>\frac{1}{2 + 1}</math> x <sup>2 + 1</sup> || F(x) =  <math>\frac{1}{3}</math> x <sup>3</sup>
 
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'''Bei Funktionen wie z.B. : (2x-3)<sup>3</sup> erfolgt die Stammfunktionsbildung mit <u>linearer Substitution</u>.
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! Funktion f(x)
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! Stammfunktion F(x)
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| f(x) = u(rx+s)
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| f(x) = (4x+1)<sup>3</sup> || F(x) = <math>\frac{1}{4}</math> * <math>\frac{1}{4}</math> (4x + 1) <sup>4</sup>|| F(x) = <math>\frac{1}{16}</math> (4x + 1) <sup>4</sup>
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| f(x) = 2(x + 3)<sup>3</sup> || 2 * <math>\frac{1}{1}</math> * <math>\frac{1}{4}</math> (x + 3) <sup>4</sup> || F(x) = <math>\frac{1}{2}</math> (x + 3) <sup>4</sup>
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== Integralrechnung ==
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Mit einer beliebigen Stammfunktion F(x) von f(x) kann man den gesuchten Flächeninhalt berechnen.
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  <br />'''Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung'''
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    <br /><math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> = F(b) - F(a)
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Statt F(b) - F(a) kann man auch <math>[F(x)]_a^b</math>  ; es ist dann <math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> = <math>[F(x)]_a^b</math>
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<span class="rahmenfarbe3" style="border-style: solid; border-width: 2px; margin: 2px;"> Beispiele 1: </span>
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(aus LS Analysis Leistungskurs S. 80 Bespiel 1 )
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<br />Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, welche der Graph der Funktion f mit '''f(x)= 3x<sup>2</sup> - x<sup>2</sup>''' mit der x-Achse einschließt.
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<br /><u>Lösung:</u>
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Bestimmung der Nullstellen (= Grenzwerte)
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Aus 3x<sup>2</sup> - x<sup>3</sup> = 0 folgt  x<sub>1</sub> = 0  und x<sub>2</sub> = 3
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Der Inhalt der Fläche ist A = <math>\int_{0}^{3} (3x^2 - x^3)\, dx</math>
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<br /> = [<math>x^3 - \frac{1}{4}x^4]_0^3</math> = (27- <math>\frac{81}{4}</math>) - 0 =<math>\frac{27}{4}</math>
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[[Bild:Graph45465.jpg]]
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<span class="rahmenfarbe3" style="border-style: solid; border-width: 2px; margin: 2px;"> Beispiele 2: </span> (aus LS Analysis Leistungskurs S. 81 Aufgabe 6b) )
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== Integrationsregeln ==
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| ''Faktorregel''  || <math>\int_{a}^{b} c * f(x)\, dx</math> || <math> c * \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math>
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|-
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| ''Summenregel'' || <math>\int_{a}^{b} (f(x)\pm g(x))\, dx</math> || <math>\int_{a}^{b}\ (f(x))dx \pm \int_{a}^{b}(g(x))\, dx</math>
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|-
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| '' Vertauschungsregel'' || <math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math> || <math>- \int_{b}^{a} f(x)\, dx</math>
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|-
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| '' Intervallregel '' || <math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx + \int_{b}^{c} f(x)\, dx </math> || <math>\int_{a}^{c} f(x)\, dx</math>
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|}
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[[Kategorie:Differential- und Integralrechnung]]

Aktuelle Version vom 27. Dezember 2010, 11:32 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Elementare Integration



Durch integrieren werden die Flächen unterhalb oder zwischen den Graphen berechnet. Dazu muss man zuerst die gegebene Funktion aufleiten bzw. die Stammfunktion bilden.


Stammfunktionen bilden


Wenn man eine Funktion f(x) gegeben hat, ist ihre Stammfunktion die Funktion, deren Ableitung f ergibt. 

                              F'(x) = f(x)


Die Stammfunktion f(x) wird gebildet, indem man den Exponenten mit eins addiert und die Funktion mit dem Kehrwert des neuen Exponenten multipliziert.


Funktion f (x) Stammfunktion F(x)
f(x) = xz F(x) =\frac{1}{z + 1} x z + 1


Beispiele:


f(x) = x^2 F(x) = \frac{1}{2 + 1} x 2 + 1 F(x) = \frac{1}{3} x 3
f(x) = x^3 F(x) = \frac{1}{3 + 1} x 3 + 1 F(x) = \frac{1}{4} x 4
f(x) = 4x + 1 F(x) = \frac{4}{1+1} x 1 + 1 + 1 F(x) = 2 x 2 + x



Bei Funktionen wie z.B. : (2x-3)3 erfolgt die Stammfunktionsbildung mit linearer Substitution.

Funktion f(x) Stammfunktion F(x)
f(x) = u(rx+s) F(x) = \frac{1}{r} U (rx + s)


Beispiele:

f(x) = (4x+1)3 F(x) = \frac{1}{4} * \frac{1}{4} (4x + 1) 4 F(x) = \frac{1}{16} (4x + 1) 4
f(x) = 2(x + 3)3 2 * \frac{1}{1} * \frac{1}{4} (x + 3) 4 F(x) = \frac{1}{2} (x + 3) 4


Integralrechnung

Mit einer beliebigen Stammfunktion F(x) von f(x) kann man den gesuchten Flächeninhalt berechnen. 

 
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
   
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)
Statt F(b) - F(a) kann man auch [F(x)]_a^b  ; es ist dann \int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_a^b


Beispiele 1: (aus LS Analysis Leistungskurs S. 80 Bespiel 1 )
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, welche der Graph der Funktion f mit f(x)= 3x2 - x2 mit der x-Achse einschließt.


Lösung:

Bestimmung der Nullstellen (= Grenzwerte)

Aus 3x2 - x3 = 0 folgt x1 = 0 und x2 = 3
Der Inhalt der Fläche ist A = \int_{0}^{3} (3x^2 - x^3)\, dx
= [x^3 - \frac{1}{4}x^4]_0^3 = (27- \frac{81}{4}) - 0 =\frac{27}{4}
Graph45465.jpg

Beispiele 2: (aus LS Analysis Leistungskurs S. 81 Aufgabe 6b) )

Integrationsregeln



Faktorregel \int_{a}^{b} c * f(x)\, dx c * \int_{a}^{b} f(x)\, dx
Summenregel \int_{a}^{b} (f(x)\pm g(x))\, dx \int_{a}^{b}\ (f(x))dx \pm \int_{a}^{b}(g(x))\, dx
Vertauschungsregel \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \int_{b}^{a} f(x)\, dx
Intervallregel \int_{a}^{b} f(x)\, dx + \int_{b}^{c} f(x)\, dx \int_{a}^{c} f(x)\, dx
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