Exponentialfunktionen.: Unterschied zwischen den Versionen

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<u>> Untersuchung von Exponentialfunktionen:</u>
 
<u>> Untersuchung von Exponentialfunktionen:</u>
 
> Kurvendiskussion Anhand eines Beispieles:<br /> <br /> Funktion: f(x)= 5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup><br /><br />
 
> Kurvendiskussion Anhand eines Beispieles:<br /> <br /> Funktion: f(x)= 5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup><br /><br />
1.) Ableitungen:<br /> f ' (x)= 5<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup> + 5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>( - 1/2)<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (5 - 5/2x)<br /><br /> f ' '(x)= - 1/2e<sup>- 1/2x</sup> (5 - 5/2x) + e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>(- 5/2)<br /> = e<sup>- 1/2x</sup> (- 5/2 + 5/4x - 5/2)<br /> = e<sup>- 1/2x</sup> (5/4x - 5)<br /><br /> f ' ' '(x)= - 1/2e<sup>- 1/2x</sup> (5/4x - 5) + e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>5/4<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (- 5/8x + 5/2 + 5/4)<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (15/4 - 5/8x)<br /><br />2.) Symmetrie:<br /> f ( -x) = 5<math>\cdot</math>(-x)<math>\cdot</math> e<sup>- 1/2<math>\cdot</math>(-x)</sup> = - 5x<math>\cdot</math>e<sup>1/2x</sup><math>\ne</math> f (x) --> KEINE ACHSENSYMMETRIE<br />f ( -x) = - 5x<math>\cdot</math> e<sup>1/2x</sup><math>\ne</math> - f(x) --> KEINE PUNKTSYMMETRIE  
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1.) Ableitungen:<br /> f ' (x)= 5<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup> + 5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>( - 1/2)<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (5 - 5/2x)<br /><br /> f ' '(x)= - 1/2e<sup>- 1/2x</sup> (5 - 5/2x) + e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>(- 5/2)<br /> = e<sup>- 1/2x</sup> (- 5/2 + 5/4x - 5/2)<br /> = e<sup>- 1/2x</sup> (5/4x - 5)<br /><br /> f ' ' '(x)= - 1/2e<sup>- 1/2x</sup> (5/4x - 5) + e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>5/4<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (- 5/8x + 5/2 + 5/4)<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (15/4 - 5/8x)<br /><br />2.) Symmetrie:<br /> f ( -x) = 5<math>\cdot</math>(-x)<math>\cdot</math> e<sup>- 1/2<math>\cdot</math>(-x)</sup> = - 5x<math>\cdot</math>e<sup>1/2x</sup><math>\ne</math> f (x) --> KEINE ACHSENSYMMETRIE<br />f ( -x) = - 5x<math>\cdot</math> e<sup>1/2x</sup><math>\ne</math> - f(x) --> KEINE PUNKTSYMMETRIE<br /><br /> 3.) Nullstellen:<br /> notw. Bedingung f (x) = 0  <br /> 5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup> = 0<br /> x = 0 <br /> N(0/0)
  
  
 
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Version vom 14. Dezember 2009, 11:23 Uhr

> Eigenschaften der Funktion:

Die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion besteht aus folgender Form:

                 f(x) = ax        oder auch        g(x) = c	\cdotax    wobei: c  	\in \R,    a > 0,    x \in \R  ist. 

Die Exponentialfunktion beschreibt für a > 1 einen Wachstumsprozess und für 0 < a < 1 einen Zerfallsprozess.

D.h.: a > 1 hat die Eigenschaft STRENG MONOTON STEIGERND und 0 < a < 1 hat die Eigenschaft STRENG MONOTON FALLEND.

> Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung:

Die natürliche Exponentialfunktion f mit f(x)= ex hat die Ableitungsfunktion f ´mit f ´(x)= ex. Eine Stammfunktion ist F mit F(x)= ex.

ALLGEMEIN:

Ableitung:
f (x) = ev (x)

f ´(x)= ev (x)\cdot v ´ (x)

Stammfunktion:
F(x) = \frac{1}{v´(x)}ev (x)+c

BEISPIELE:
1.) f (x) = e5x

f ´(x)= 5 e5x

F(x)= \frac{1}{5} e5x+c

2.) f(x)=5 e 3x+7

f ´(x)= 5 e3x+7\cdot3 = 15 e3x+7

F(x) =\frac{5}{3} e3x+7


> Ableitung und Integrieren zusammengesetzter Funktionen:


> Untersuchung von Exponentialfunktionen: > Kurvendiskussion Anhand eines Beispieles:

Funktion: f(x)= 5x\cdote- 1/2x

1.) Ableitungen:
f ' (x)= 5\cdote- 1/2x + 5x\cdote- 1/2x\cdot( - 1/2)
= e- 1/2x (5 - 5/2x)

f ' '(x)= - 1/2e- 1/2x (5 - 5/2x) + e- 1/2x\cdot(- 5/2)
= e- 1/2x (- 5/2 + 5/4x - 5/2)
= e- 1/2x (5/4x - 5)

f ' ' '(x)= - 1/2e- 1/2x (5/4x - 5) + e- 1/2x\cdot5/4
= e- 1/2x (- 5/8x + 5/2 + 5/4)
= e- 1/2x (15/4 - 5/8x)

2.) Symmetrie:
f ( -x) = 5\cdot(-x)\cdot e- 1/2\cdot(-x) = - 5x\cdote1/2x\ne f (x) --> KEINE ACHSENSYMMETRIE
f ( -x) = - 5x\cdot e1/2x\ne - f(x) --> KEINE PUNKTSYMMETRIE

3.) Nullstellen:
notw. Bedingung f (x) = 0
5x\cdote- 1/2x = 0
x = 0
N(0/0)