Flächenberechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 1. Mai 2011, 13:05 Uhr

Für den Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen f und der x-Achse über [a,b] gilt:

$--> A=\int_{a}^{b} f(x)\, dx, falls f(x)\ge0$

$--> A=-\int_{a}^{b} f(x)\, dx$ oder $A=\int_{a}^{b} |f(x)|\, dx$ $falls f(x)\le0$

denn: Das Integral zählt Flächeninhalte oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.

Beispielaufgaben: Beispiel 1: Fläche oberhalb der x-Achse

--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.1.

Lösung: Da $f(x)\ge0$ für $x\in\ [-1,1]$ ist, gilt:

$A=\int_{a}^{b} x^2\, dx= [\frac{1}{3}x^3] = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3-\frac{1}{3} \cdot (1)^3= -\frac{1}{3}-\frac{1}{3}= -\frac{2}{3}$

Der Flächeninhalt beträgt A= $<-\frac{2}{3}>$

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	= \frac{1}{3} \cdot (-1)^3-\frac{1}{3} \cdot (1)^3= -\frac{1}{3}-\frac{1}{3}= -\frac{2}{3}</math>		= \frac{1}{3} \cdot (-1)^3-\frac{1}{3} \cdot (1)^3= -\frac{1}{3}-\frac{1}{3}= -\frac{2}{3}</math>

−	Der Flächeninhalt beträgt A= ~~[mm]~~-\frac{2}{3}~~[/mm]~~	+	Der Flächeninhalt beträgt A= $<-\frac{2}{3}>$