Flächenberechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Aus KAS-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse)
(Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse)
Zeile 33: Zeile 33:
  
 
Der Flächeninhalt beträgt A= Der Flächeninhalt beträgt <math>A= \frac{7}{3}</math>
 
Der Flächeninhalt beträgt A= Der Flächeninhalt beträgt <math>A= \frac{7}{3}</math>
 +
 +
 +
Sollte f in [a,b] jedoch sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verlaufen, so muss man die Inhalte der Teilflächen getrennt berechnen:
 +
 +
1.) Berechnung der Nullstellen von f
 +
 +
2.) Bestimmung des Vorzeichens von f(x) oder ggf. Betragsstriche um die jeweiligen Teilflächen setzen
 +
 +
3.) Berechnung des gesamten Flächeninhalts, indem man die einzelnen Teilflächen miteinander addiert.

Version vom 1. Mai 2011, 12:51 Uhr

Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse

Für den Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen f und der x-Achse über [a,b] gilt:

--> A=\int_{a}^{b} f(x)\, dx, falls f(x)\ge0

--> A=-\int_{a}^{b} f(x)\, dx falls f(x)\le0

denn: Das Integral zählt Flächeninhalte oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.


Beispielaufgaben:

Beispiel 1: Fläche oberhalb der x-Achse

--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.1.

Lösung: Da f(x)\ge0 für x\in\ [-1,1] ist, gilt:

A=\int_{1-}^{1} x^2\, dx= [\frac{1}{3}x^3]

= \frac{1}{3} \cdot 1^3-\frac{1}{3} \cdot (-1)^3= \frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})=  \frac{2}{3}

Der Flächeninhalt beträgt A= \frac{2}{3}


Beispiel 2: Fläche unterhalb der x-Achse

--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.2.

Lösung: Da f(x)\le0 für x\in\ [-1,3] ist, gilt:

A=-\int_{-1}^{3} -\frac{1}{4}x^2\, dx=\int_{-1}^{3} \frac{1}{4}x^2\, dx= [\frac{1}{12}x^3]= \frac{1}{12} \cdot 3^3-\frac{1}{12} \cdot (-1)^3= -\frac{9}{4}-(-\frac{1}{12})= \frac{7}{3}

Der Flächeninhalt beträgt A= Der Flächeninhalt beträgt A= \frac{7}{3}


Sollte f in [a,b] jedoch sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verlaufen, so muss man die Inhalte der Teilflächen getrennt berechnen:

1.) Berechnung der Nullstellen von f

2.) Bestimmung des Vorzeichens von f(x) oder ggf. Betragsstriche um die jeweiligen Teilflächen setzen

3.) Berechnung des gesamten Flächeninhalts, indem man die einzelnen Teilflächen miteinander addiert.