Flächenberechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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(Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse)
(Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse)
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\end{matrix}</math>
 
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2.) für <math>-1 \le x \le 0</math> gilt <math>f(x) \ge 0</math>  ---> denn f(-1)=1,5
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2.) Vorzeichen der jeweiligen Teilflächen bestimmen
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für <math>-1 \le x \le 0</math> gilt <math>f(x) \ge 0</math>  ---> denn f(-1)=1,5
  
 
für <math>0 \le x \le 2</math> gilt <math>f(x) \le 0</math>      ---> denn f(1)=-1,5
 
für <math>0 \le x \le 2</math> gilt <math>f(x) \le 0</math>      ---> denn f(1)=-1,5
  
 
für <math>2 \le x \le 2,5</math> gilt <math>f(x) \ge 0</math>    ---> denn f(2,3)=1,4835
 
für <math>2 \le x \le 2,5</math> gilt <math>f(x) \ge 0</math>    ---> denn f(2,3)=1,4835
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3.) Flächeninhalt berechnen
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<math>\begin{matrix}
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A&=&  \int_ {-2}^{0} \0,5x^3-2x\, dx+\int_ {0}^{2} \0,5x^3-2x\, dx+\int_ {2}^{2,5} \0,5x^3-2x\, dx \\
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\ x(0,5x^2-2)& =& 0\\
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\ x=0 ; 0,5x^2-2& =& 0\\
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\ x& =& \pm2 
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\end{matrix}</math>

Version vom 1. Mai 2011, 14:44 Uhr

Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse

Für den Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen f und der x-Achse über [a,b] gilt:

--> A=\int_{a}^{b} f(x)\, dx, falls f(x)\ge0

--> A=-\int_{a}^{b} f(x)\, dx falls f(x)\le0

denn: Das Integral zählt Flächeninhalte oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.


Beispielaufgaben:

Beispiel 1: Fläche oberhalb der x-Achse

--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.1.

Lösung: Da f(x)\ge0 für x\in\ [-1,1] ist, gilt:

A=\int_{1-}^{1} x^2\, dx= [\frac{1}{3}x^3]

= \frac{1}{3} \cdot 1^3-\frac{1}{3} \cdot (-1)^3= \frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})=  \frac{2}{3}

Der Flächeninhalt beträgt A= \frac{2}{3}


Beispiel 2: Fläche unterhalb der x-Achse

--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.2.

Lösung: Da f(x)\le0 für x\in\ [-1,3] ist, gilt:

A=-\int_{-1}^{3} -\frac{1}{4}x^2\, dx=\int_{-1}^{3} \frac{1}{4}x^2\, dx= [\frac{1}{12}x^3]= \frac{1}{12} \cdot 3^3-\frac{1}{12} \cdot (-1)^3= -\frac{9}{4}-(-\frac{1}{12})= \frac{7}{3}

Der Flächeninhalt beträgt A= Der Flächeninhalt beträgt A= \frac{7}{3}


Sollte f in [a,b] jedoch sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verlaufen, so muss man die Inhalte der Teilflächen getrennt berechnen:

1.) Berechnung der Nullstellen von f

2.) Bestimmung des Vorzeichens von f(x) oder ggf. Betragsstriche um die jeweiligen Teilflächen setzen

3.) Berechnung des gesamten Flächeninhalts, indem man die einzelnen Teilflächen miteinander addiert.


Beispielaufgabe:

Beispiel3: Fläche teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der x-Achse


Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 0,5x^3-2x (Fig.3).

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse über dem Intervall [-1;2,5] einschließen.

Lösung:

1.) Nullstellen berechnen --> f(x)=0

\begin{matrix}
0,5x^3-2x&=& 0 \\ 
\ x(0,5x^2-2)& =& 0\\ 
\ x=0 ; 0,5x^2-2& =& 0\\
\ x& =& \pm2   
\end{matrix}

2.) Vorzeichen der jeweiligen Teilflächen bestimmen

für -1 \le x \le 0 gilt f(x) \ge 0 ---> denn f(-1)=1,5

für 0 \le x \le 2 gilt f(x) \le 0 ---> denn f(1)=-1,5

für 2 \le x \le 2,5 gilt f(x) \ge 0 ---> denn f(2,3)=1,4835

3.) Flächeninhalt berechnen

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \begin{matrix} A&=& \int_ {-2}^{0} \0,5x^3-2x\, dx+\int_ {0}^{2} \0,5x^3-2x\, dx+\int_ {2}^{2,5} \0,5x^3-2x\, dx \\ \ x(0,5x^2-2)& =& 0\\ \ x=0 ; 0,5x^2-2& =& 0\\ \ x& =& \pm2 \end{matrix}