Ganzrationale Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint.  
 
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f(x) = <math>x^2</math> + px + q = 0
 
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Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden.
 
Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden.
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Version vom 3. Dezember 2009, 12:20 Uhr

f(x)= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0


a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = Polynom

a_n, a_8n-1,..., a_1, a_0 = Koeffizienten

n = Grad des Polynom



1. Nullstellen bestimmen:


f(x)=0



  • Polynomdivision:

Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgefuehrt werden.

Vorgehensweise:

a) Bestimmung einer Nullstelle (N) der Funktion f(x) durch Erraten.

Tipp: als erstes immer für N = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 einsetzen, da dass die gaengigen Nullstellen sind

b) Erstellung des Termes p(x) = (x - N) durch die soeben gefundene Nullstelle.

c) Nun vereinfacht man die Funktion durch den Bruch :\frac{f(x)}{p(x)} und setzt diesen = 0. Um dies jetzt zu lösen, geht man vor wie bei einer längeren Division.



  • Substitution:

Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint.

Beispiel:

Funktion: f(x) = x^4 + 6x^2 + 8 = 0.

substituiere: x^2 = z

neue Funktion f(z)_n = z^2 + 6z + 8 = 0.

Nun lässt sich durch die p/q - Formel oder die quadratische Ergänzung die Nullstellen errechnen.

Schließlich wird die Substitution wieder rückgängig gemacht, indem man aus z +/- die Wurzel zieht.



  • p/q-Formel:

f(x) = x^2 + px + q = 0

x_{1,2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt{ (\frac{-p}{2})^2-q }



  • quadratische Ergänzung:

Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden.

x^2 + ax = \underbrace {x^2 + ax + \frac{a^2}{4}}_{(x+\frac{a}{2})^2} - \frac{a^2}{4}


2. Symmetrie


1. f(-x) = f(x) für x \in D \rightarrow achsensymmetrisch zur y-Achse

2. f(-x) = -f(x) für x \in D \rightarrow punktsymmetrisch zum Ursprung


Tipp:achsensymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur gerade Exponente und punktsymmetrische ganzrationale Funktionen nur ungerade Hochzahlen


3. Verhalten von ganzrationalen Funktionen


a_nx^n  : für a_n > 0 gilt

\begin{cases} f(x) \rightarrow + \infty, & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { gerade,}\\ f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { ungerade.} \end{cases}

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