Gebrochene rationale Funktionen.: Unterschied zwischen den Versionen

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Bei der Funktion <math>f(x)= \frac{(x+1)(x-2)}{(x+1)^2(x-2)}</math> ; D = <math>\R {-1;2}</math>
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Bei der Funktion <math>f(x)= \frac{(x+1)(x-2)}{(x+1)^2(x-2)}</math> ; D = <math>\R {-1;2}</math> sind an der Stelle <math>x_0 = -1 </math> und <math> x_1 = 2 </math> sowohl der Nenner als auch der Zähler gleich null. Nach dem Kürzen gilt:
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Für alle
  
  

Version vom 20. Dezember 2009, 12:33 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Defition von gebrochenrationalen Funktionen 

Eine gebrochenrationale Funtion ist ein Bruch zweier ganzrationaler Funtionen g(x) und h(x).
Dabei heißt g(x) Zählerfunktion mit dem Zählergrad ZG und h(x) heißt Nennerfunktion mit
dem Nennergrad NG.

Allgemeine Form der Funktion: f(x) =\frac{g(x)}{h(x)} mit dem ganzrationalen Funktionen g(x) und h(x) ( Grad h(x) \geq 1).

Bei einer ganzrationalen ist der Funktionsterm ein Polynom.

Ist z.B. g(x) = x ^ 3 + x und h_1(x) = 2x^2 -2, ergibt sich f(x) =\frac{g(x)}{h_1(x)} = \frac{x^3 + x}{2x^2 - 2} = \frac{x(x^2 + 1)}{2(x^2 - 1)}.

Diese Art von Funktionen nennt man gebrochenrationale Funktion.

Ist dagegen h_2 = 2x^2 + 2, ergibt sich i(x)=\frac{g(x)}{h_2(x)} = \frac{x^3 + x}{2x^2 + 2} = \frac{x(x^2 + 1)}{2(x^2 + 1 } = \frac{x}{2} .

Durch das Kürzen ändert sich in diesem Fall die Definitionsmende nicht. Es ergibt sich als Nennerpolynom eine Konstante. Die Funktion i ist also ein ganzrationale Funktion.

Damit kann man formulieren:

Eine Funktion f mit f(x) =\frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ ... + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ... + b_1 x + b_0} , a_i \in \R , b_i \in \R , a_n \ne 0 , b_m \ne 0, heißt gebrochenrational, wenn diese Darstellung nur mit einem Nennerpolynom möglich ist, dessen Grad mindestens 1 ist.

Falls das Nennerpolynom den Grad 0 hat, ist f eine ganzrationale Funktion.


Definitionsmenge 

Nenner = 0 setzen


y-Achsenabschnitt 

x = 0 setzen, f(0)= ...


Nullstellen und Polstellen

Um einen Überblick über den Verlauf des Graphen einer gebrochenrationalen Funktion f mit f(x)= \frac{p(x)}{q(x)} zu gewinnen, untersucht man f zunächst auf Nullstellen des Zählers und auf Definitionslücken.

Nullstellen

p (x_0) = 0 und q (x_O) \ne 0 

Zähler = 0 setzen

Beispiel 1:

Bei der Funktion f(x)=\frac{x-1}{x+2} ist an der Stelle x_0 = 1 der Zähler null und der Nenner ungleich null. x_0 ist die Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion f.

Polstelle

p (x_0) \ne 0 und q (x_O) = 0 

Nenner = 0 setzen

Beispiel 2:

Bei der Funktion f(x)=frac{x+2}{x-3} ist an der Stelle x_0 = 3 der Zähler ungleich null und der Nenner null. x_0 ist Pollstelle der der gebrochenrationalen Funktion f.


Hebbare Definitionslücke

p (x_0) = 0 und q (x_O) = 0 

Zähler und Nenner = 0

Beispiel 3:

Bei der Funktion f(x)= \frac{(x+1)(x-2)}{(x+1)^2(x-2)} ; D = \R {-1;2} sind an der Stelle x_0 = -1 und x_1 = 2 sowohl der Nenner als auch der Zähler gleich null. Nach dem Kürzen gilt:

Für alle



Symmetrie

a) Achsensymmetrie zur y- Achse 

Bed. f(-x) = f(x)

b) Punktsymmetrie zum Ursprung 

Bed. - f(-x) = f(x)
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