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== Wendepunkte ==
 
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In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung zwischen links und rechts.
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Folglich ist die Krümmung, also die zweite Ableitung in diesem Punkt 0
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'''Notwendige Bedingung'''
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<math>f\!\,''(x)=0</math>
  
 
== Grenzwertverhalten ==
 
== Grenzwertverhalten ==

Version vom 1. Dezember 2009, 13:01 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definitionsbereich

Bei den meisten Funktionen gilt \mathbb{D}=\mathbb{R}

Ausnahmen gibt es bei gebrochene rationale Funktionen

Symmetrie

Punktsymmetrie

f(-x)=-f(x)

In der Funktion gibt es nur ungerade Exponenten


Achsensymmetrie

f(-x)=f(x)

In der Funktion gibt es nur gerade Exponenten

Nullstellen

Nullstellen sind die Schnittpunkte der Funktion mit der X-Achse.

f(x)=0

Der Grad der Funktion gibt die höchst mögliche Anzahl der Nullstellen an.

Ableitungen

1. Ableitung f\!\,'(x)

f\!\,'(x_0) gibt die Steigung m im Punkt x_0\! an.


2. Ableitung f\!\,''(x)

f\!\,''(x_0) gibt die Krümmung von x_0\! an. Bei positiven Werten handelt es sich um eine Rechtskrümmung, bei negativen Werten um eine Linkskrümmung.


3. Ableitung f\!\,'''(x)


Zur Berechnung: siehe Ableitungsregeln

Extrempunkte

In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0

also ist die notwendige Bedingung:

f\!\,'(x)=0


Die erhaltenen X-Werte setzt man nun in der hinreichenden Bedingung in die zweite Ableitung ein:

f\!\,''(x)>0 hierbei handelt es sich um eine Linkskrümmung, also um ein Minimum.

f\!\,''(x)<0 hierbei handelt es sich um eine Rechtskrümmung, also um ein Maximum.


Um die Y-Werte der Hoch- bzw. Tiefpunkte zu erhalten, setzt man die X-Werte in die Ursprungsfunktion f\!(x) ein.

Wendepunkte

In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung zwischen links und rechts. Folglich ist die Krümmung, also die zweite Ableitung in diesem Punkt 0

Notwendige Bedingung

f\!\,''(x)=0

Grenzwertverhalten

Zeichnen