Kurvendiskussion.: Unterschied zwischen den Versionen

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(Extrempunkte)
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<math>\lim_{x \to -\infty}f(x)</math>
 
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[[Kategorie:Kurvendiskussion]]

Version vom 9. Dezember 2009, 21:45 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definitionsbereich

Symmetrie

Punktsymmetrie

f\!(-x)=-f(x)

Alle Exponenten der Funktion sind ungerade.

Achsensymmetrie

f\!(-x)=f(x)

Alle Exponenten der Funktion sind gerade.


Funktionen mit geraden und ungeraden Exponenten weisen keine Symmetrie auf.

Nullstellen

Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse

 f\!(x)=0

Ableitung

1. Ableitung f\!\,'(x)

f\!\,'(x_0) gibt die Steigung m im Punkt x_0\! an.


2. Ableitung f\!\,''(x)

f\!\,''(x_0) gibt die Krümmung von x_0\! an.

Bei positiven Werten handelt es sich dabei um eine Rechtskrümmung, bei negativen Werten, um eine Linkskrümmung.


3. Ableitung f\!\,'''(x)


siehe Ableitungsregeln.

Extrempunkte

In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0, deshalb folgt die notwendige Bedingung f\!\,'(x)=0


Die erhaltenen X-Werte setzt man in der hinreichenden Bedingung in die zweite Ableitung ein. \Rightarrow

f\!\,''(x)>0 hierbei handelt es sich um eine Linkskrümmung, also um ein Minimum (Tiefpunkt).

oder

f\!\,''(x)<0 hierbei handelt es sich um eine Rechtskrümmung, also um ein Maximum (Hochpunkt).


Setzt man nun die x-Werte in die Funktion \!f(x) ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte.

Wendepunkte

Grenzverhalten

Der Verlauf des Graphen bei unendlich großen bzw. unendlich kleinen x-Werten wird durch das Grenzverhalten beschrieben.


\lim_{x \to \infty}f(x)


\lim_{x \to -\infty}f(x)