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(Wendepunkte)
(Wendepunkte)
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<math>f\!\,''(x)=0 \quad \vee \quad f\!\,'''(x)\not=0</math>
 
<math>f\!\,''(x)=0 \quad \vee \quad f\!\,'''(x)\not=0</math>
  
<br />Setzt man nun die x-Werte in die Funktion \!f(x) ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte. (wie bei den Extremwerten)
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<br />Setzt man nun die x-Werte in die Funktion <math>\!f(x)</math> ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte. (Wie bei den Extremwerten)
  
 
== Grenzverhalten ==
 
== Grenzverhalten ==

Version vom 14. Dezember 2009, 10:58 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definitionsbereich

Symmetrie

Punktsymmetrie

f\!(-x)=-f(x)

Alle Exponenten der Funktion sind ungerade.

Achsensymmetrie

f\!(-x)=f(x)

Alle Exponenten der Funktion sind gerade.


Funktionen mit geraden und ungeraden Exponenten weisen keine Symmetrie auf.

Nullstellen

Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse

 f\!(x)=0

Ableitung

1. Ableitung f\!\,'(x)

f\!\,'(x_0) gibt die Steigung m im Punkt x_0\! an.


2. Ableitung f\!\,''(x)

f\!\,''(x_0) gibt die Krümmung von x_0\! an.

Bei positiven Werten handelt es sich dabei um eine Rechtskrümmung, bei negativen Werten, um eine Linkskrümmung.


3. Ableitung f\!\,'''(x)


siehe dazu Ableitungsregeln.

Extrempunkte

In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0, deshalb folgt die notwendige Bedingung f\!\,'(x)=0


Die erhaltenen X-Werte setzt man in der hinreichenden Bedingung in die zweite Ableitung ein. \Rightarrow

f\!\,''(x)>0 hierbei handelt es sich um eine Linkskrümmung, also um ein Minimum (Tiefpunkt).

oder

f\!\,''(x)<0 hierbei handelt es sich um eine Rechtskrümmung, also um ein Maximum (Hochpunkt).


Setzt man nun die x-Werte in die Funktion \!f(x) ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte.

Wendepunkte

In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung zwischen links und rechts. Somit ist die Krümmung, die zweite Ableitung in diesem Punkt = 0.


Notwedige Bedingung

f\!\,''(x)=0



Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um ein Wendepunkt handelt, muss dazu auch die hinreichende Bedingung erfüllt sein.


Hinreichende Bedingung

f\!\,''(x)=0 \quad \vee \quad f\!\,'''(x)\not=0


Setzt man nun die x-Werte in die Funktion \!f(x) ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte. (Wie bei den Extremwerten)

Grenzverhalten

Der Verlauf des Graphen bei unendlich großen bzw. unendlich kleinen x-Werten wird durch das Grenzverhalten beschrieben.


\lim_{x \to \infty}f(x)


\lim_{x \to -\infty}f(x)