Lösung linearer Gleichungssysteme.

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Inhaltsverzeichnis

Gaußches Eliminierungsverfahren

Die Operationen

  • Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor
  • Addition/Subtraktion des Vielfachen einer Gleichung mit einer anderen Gleichung

Bedingung

Man braucht mindestens genauso viele Gleichungen, wie unbekannte Variablen. Wenn es mehr Gleichungen sind, muss man mit der/den "überflüssigen" Gleichung(en) die Variablen einsetzen und das Ergebniss überprüfen. Wenn die Zahlen nicht übereinsstimmen, gibt es kein Ergebniss.

Beispiel

Aufstellen des linearen Gleichungssystems.


I

\!4 = 1x +2y +3z

II

\! 1 = 2x +3y +4z

III

\! 2 = 3x +4y +1z


Durch das Subtraktionsverfahren eliminiert man \!x aus 2 Gleichungen


I

\! 4 = 1x +2y +3z

I*(-2) + II

\! 7 = 1y +2z

III

\! 2 = 3x +4y +1z


I

\! 4 = 1x +2y +3z

I*(-2) + II

\! 7 = 1y +2z

I*(-3) + III

\! 10 = 2y +8z


Durch erneute Subtraktion wird \!Y eliminiert.

I

\! 4 = 1x +2y +3z

I*(-2) + II

\! 7 = 1y +2z

II*(-2) + III

\! 4 = -4z


Durch Einsetzten und Lösen erhält man:


\! z = -1

\! y = 9

\! x = -11


Besonderes

1.Beispiel

Hätte man als Gleichungen:
1. Gleichung: \!-7y - 3z = -14
2. Gleichung: \!-7y - 3z = -13
hätte man nach dem Gleichsetzen das Ergebniss: \!-14=-13 In solchen Fällen gibt es keine Lösung.


2.Beispiel

Hätte man jedoch die GLeichungen:
1. Gleichung: \! -7y - 3z = -14
2. Gleichung: \! -7y - 3z = -14
hätte man das Ergebniss \! -14=-14 In solchen Fällen gibt es unendlich viele Lösungen.