Schnitte von Geraden und Ebenen.: Unterschied zwischen den Versionen

Aus KAS-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Siehe auch)
(Kategorie:Analytische Geometrie)
 
(35 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt)
Zeile 2: Zeile 2:
  
  
Für zwei Geraden im Raum sind <u>4 Fälle</u> möglich:
+
Für zwei Geraden im Raum sind '''4 Fälle''' möglich:
  
Sie sind parallel, sie sind identisch, sie schneiden oder sie sind windschief.
+
Sie sind '''parallel''', sie sind '''identisch''', sie '''schneiden''' oder sie sind '''windschief'''.
  
Durch die <u>Richtungsvektoren</u> kann man erkennen, ob die Geraden parallel sind oder nicht. Im Weiteren untersucht man dann die <u>Schnittpunkte</u> der Geraden.
+
Durch die '''Richtungsvektoren''' kann man erkennen, ob die Geraden parallel sind oder nicht. Im Weiteren untersucht man dann die '''Schnittpunkte''' der Geraden.
  
 
1. Fall: g<math>\|</math>h
 
1. Fall: g<math>\|</math>h
:a) Stützvektor von g liegt nicht auf h <math>\Rightarrow</math> g und h sind parallel ([[#Beispiel 1|Beispiel 1]])
+
 
:b) Stützvektor von g liegt auf h <math>\Rightarrow</math> g und h sind identisch ([[#Beispiel 2|Beispiel 2]])
+
a) Stützvektor von g liegt nicht auf h <math>\Rightarrow</math> g und h sind parallel ([[#Beispiel 1.1|Beispiel 1.1]])<br />
 +
b) Stützvektor von g liegt auf h <math>\Rightarrow</math> g und h sind identisch ([[#Beispiel 1.2|Beispiel 1.2]])
  
 
2. Fall: g und h sind nicht parallel
 
2. Fall: g und h sind nicht parallel
:a) Das LGS hat eine Lösung <math>\Rightarrow</math> g und h schneiden sich ([[#Beispiel 3|Beispiel 3]])
 
:b) Das LGS hat keine Lösung <math>\Rightarrow</math> g und h sind windschief ([[#Beispiel 4|Beispiel 4]])
 
  
=== Beispiel 1 ===
+
a) Das LGS hat eine Lösung <math>\Rightarrow</math> g und h schneiden sich ([[#Beispiel 1.3|Beispiel 1.3]])<br />
Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h
+
b) Das LGS hat keine Lösung <math>\Rightarrow</math> g und h sind windschief ([[#Beispiel 1.4|Beispiel 1.4]])
g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>  h: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}</math>
+
 
 +
=== Beispiel 1.1 ===
 +
Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h<br />
 +
:g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>  h: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}</math>
  
 
'''Lösung:'''
 
'''Lösung:'''
Zeile 24: Zeile 26:
 
Der Richtungsverktor von h ist das (-3)fache des Richtungsvektors von g <math>\Rightarrow</math> 1. Fall
 
Der Richtungsverktor von h ist das (-3)fache des Richtungsvektors von g <math>\Rightarrow</math> 1. Fall
  
Man setzt nun den Stützvektor von g gleich der Geraden h.
+
Man setzt nun den Stützvektor von g gleich der Geraden h.<br />
<math>\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}</math>=<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}</math>
+
:<math>\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}</math>=<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}</math><br />
 
Daraus folgt s =<math>\frac{1}{3}</math>
 
Daraus folgt s =<math>\frac{1}{3}</math>
 
Setzt man s wieder ein, folgt daraus -3<math>\ne</math>1 + <math>\frac{1}{3}</math><math>\cdot</math>(-3)
 
Setzt man s wieder ein, folgt daraus -3<math>\ne</math>1 + <math>\frac{1}{3}</math><math>\cdot</math>(-3)
Somit liegt der Stützvektor nicht auf h und die Geraden sind damit parallel.
+
Somit liegt der Stützvektor nicht auf h und die Geraden sind damit '''parallel'''.
  
=== Beispiel 2 ===
+
=== Beispiel 1.2 ===
 +
Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.<br />
 +
:g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}</math>  h: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix}</math>
  
=== Beispiel 3 ===
+
'''Lösung:'''
  
=== Beispiel 4 ===
+
Der Richtungsverktor von h ist das Doppelte des Richtungsvektors von g <math>\Rightarrow</math> 1. Fall
  
 +
Man setzt nun den Stützvektor von g gleich der Geraden h.<br />
 +
:<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}</math>=<math>\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix}</math><br />
 +
Daraus folgt s = 1
 +
Setzt man s wieder ein, folgt daraus 3=7-4 <math>\land</math> -1=5-6
 +
Somit liegt der Stützvektor auf h und die Geraden sind damit '''identisch'''.
 +
 +
=== Beispiel 1.3 ===
 +
Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.<br />
 +
:g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>  h: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}</math>
 +
 +
'''Lösung:'''
 +
 +
Der Richtungsverktor von h ist kein Vielfaches des Richtungsvektors von g <math>\Rightarrow</math> 2. Fall<br />
 +
 +
Man setzt nun die beiden Geraden gleich.<br />
 +
:<math>\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />
 +
 +
Daraus ergibt sich das LGS:
 +
:9+3r = 7+ s<br />
 +
:  2r = -2+ s<br />
 +
:6+ r = 2+2s<br />
 +
 +
Als '''einzige''' Lösung ergibt sich r = 0; s = 2<br />
 +
Somit '''schneiden sich''' die Geraden g und h. Will man den Schnittpunkt ausrechenen, muss man s und r in eine der Geraden einsetzen.<br />
 +
:Mit r = 0 und s = 2 ergibt sich der '''Schnittpunkt''' S(9|0|6)
 +
 +
=== Beispiel 1.4 ===
 +
Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.<br />
 +
:g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}</math>  h: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>
 +
 +
'''Lösung:'''
 +
 +
Der Richtungsverktor von h ist kein Vielfaches des Richtungsvektors von g <math>\Rightarrow</math> 2. Fall<br />
 +
 +
Man setzt nun die beiden Geraden gleich.<br />
 +
:<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}</math>  = <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>
 +
 +
Daraus ergibt sich das LGS:
 +
:2+2r = -s<br />
 +
:5+4r = 1<br />
 +
:4+3r = 3+2s<br />
 +
 +
Dieses LGS hat '''keine''' Lösung, somit sind die Geraden '''windschief'''.
  
 
== '''Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene''' ==
 
== '''Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene''' ==
 
   
 
   
 +
 +
Für die gegenseitige Lage einer Gerade g und einer Ebene E sind '''3 Fälle''' Möglich:<br />
 +
 +
1) g und E schneiden sich
 +
2) g und E sind parallel
 +
3) g liegt in E
 +
 +
Ist die Ebene E durch eine '''Koordinatengleichung''' gegeben, erhält man aus dieser durch Einsetzen von x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> und x<sub>3</sub> aus der Geradengleichung eine Gleichung für den Parameter.<br />
 +
Die verschiedenen Lagen von g und E ergeben sich, je nachdem, ob diese Gleichung<br />
 +
 +
:1) genau '''eine Lösung''' ([[#Beispiel 2.1|Beispiel 2.1]])
 +
:2) '''keine Lösung''' ([[#Beispiel 2.2|Beispiel 2.2]])
 +
:3) '''unendlich viele Lösungen''' hat ([[#Beispiel 2.3|Beispiel 2.3]])
 +
 +
=== Beispiel 2.1 ===
 +
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und Ebene E.<br />
 +
:g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix}</math>    E: -3x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> - 4x<sub>3</sub> = 6.
 +
 +
'''Lösung:'''
 +
 +
Man setzt nun x<sub>1</sub> = 1 - 6r, x<sub>2</sub> = 2r und x<sub>3</sub> = 1 - 8r in die Ebenengleichung ein, dann ergibt sich:<br />
 +
-3(1 - 6r) + 2r - 4(1 - 8t) = 6<br />
 +
<math>\Rightarrow</math> r = <math>\frac{1}{4}</math> somit '''schneiden sich''' g und E.<br />
 +
Um den '''Schnittpunkt''' auszurechnen, setzt man r in g ein <math>\Rightarrow</math> S(-0,5|0,5|-1)
 +
 +
=== Beispiel 2.2 ===
 +
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und Ebene E.<br />
 +
: g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}</math>  E: x<sub>1</sub> - 2x<sub>2</sub> - 3x<sub>3</sub> = 1.
 +
 +
'''Lösung:'''
 +
 +
Man setzt nun x<sub>1</sub> = -2 + r, x<sub>2</sub> = 3 + 2r und x<sub>3</sub> = 4 - r in die Ebenengleichung ein, dann ergibt sich:<br />
 +
:-2 r -2(3 + 2r) - 3(4 - r) = 1 <math>\Rightarrow</math> -20 = 1; Somit sind g und E '''parallel'''.
 +
 +
=== Beispiel 2.3 ===
 +
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und Ebene E.<br />
 +
:g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>  E: x<sub>1</sub> - 2x<sub>2</sub> - 3x<sub>3</sub> = 14.
 +
 +
'''Lösung:'''
 +
 +
Man setzt nun x<sub>1</sub> = -3 + 5r, x<sub>2</sub> = 4 - 2r und x<sub>3</sub> = 1 + 3r in die Ebenengleichung ein, dann ergibt sich:<br />
 +
:-3 + 5r -2(4 - 2r) - 3(1 + 3r) = 14 <math>\Rightarrow</math> 0 = 0; Somit '''liegt  g in E'''.
 +
 
== '''Gegenseitige Lage von zwei Ebenen''' ==
 
== '''Gegenseitige Lage von zwei Ebenen''' ==
  
  
 +
Für die gegenseitige Lage von zwei Ebenen sind '''3 Fälle''' möglich:<br />
 +
 +
1) Sie '''schneiden''' sich (Schnittgerade)
 +
2) Sie sind '''parallel'''
 +
3) Sie sind '''identisch'''
 +
 +
Lageuntersuchung bei verschiedenen Formen der Ebenengleichungen:
 +
:1) Sind '''beide Ebenen in Koordinatenform''' gegeben, fass man diese als LGS mit drei Variablen zusammen ([[#Beispiel 3.1|Beispiel 3.1]])
 +
:2) Sind '''beide Ebenen in Parameterform''' gegeben, setzt man diese gleich und erhält ein LGS mit drei Gleichungen und vier Variablen ([[#Beispiel 3.2|Beispiel 3.2]])
 +
:3) Ist eine Ebene in '''Parameter- und eine in Koordinatenform''' gegeben, setzt man x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> und x<sub>3</sub> aus der Parametergleichung  in die Koordinatengleichung ein und erhält eine Gleichung mit den beiden Variablen ([[#Beispiel 3.3|Beispiel 3.3]])
 +
 +
=== Beispiel 3.1 ===
 +
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Ebenen.<br />
 +
: E<sub>1</sub>: 3x<sub>1</sub> - 2x<sub>2</sub> + x<sub>3</sub> = 3 und E<sub>2</sub>: 5x<sub>1</sub> + 3x<sub>2</sub> - 2x<sub>3</sub> = 6
 +
 +
'''Lösung:'''
 +
Aus den beiden Gleichungen ergibt sich das LGS:<br />
 +
:3x<sub>1</sub> - 2x<sub>2</sub> + x<sub>3</sub> = 3<br />
 +
:5x<sub>1</sub> + 3x<sub>2</sub> - 2x<sub>3</sub> = 6<br />
 +
 +
Da dieses LGS unterbestimmt ist setzt man x<sub>1</sub> = r, dann erhält man:<br />
 +
:x<sub>1</sub> = r
 +
:x<sub>2</sub> = 11r - 12
 +
:x<sub>3</sub> = -21 + 19r
 +
 +
Daraus ergibt sich die '''Schnittgerade''':
 +
:<math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ -21 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 11 \\ 19 \end{pmatrix}</math>
 +
 +
=== Beispiel 3.2 ===
 +
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Ebenen.<br />
 +
: E<sub>1</sub>: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>  E<sub>2</sub>: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + t<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + u<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}</math>
 +
 +
'''Lösung:'''<br />
 +
Daraus ergibt sich <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + t<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + u<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}</math> <br />
 +
Man Erhält das LGS:<br />
 +
:1 + r + s = 1 + t -2u<br />
 +
:1 + 2r = -1 - 4t + 3u<br />
 +
: 4 +8r + 2s = -1 -t +7u<br />
 +
 +
Daraus folgt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat, d.h. die Ebenen '''schneiden sich'''.<br />
 +
Setzt man u in E<sub>2</sub>, erhält man die '''Schnittgerade''':<br />
 +
<math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 2 \\ -2,5 \\ -4,5 \end{pmatrix}</math> + t<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ -13 \end{pmatrix}</math>
 +
 +
=== Beispiel 3.3 ===
 +
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Ebenen.<br />
 +
: E<sub>1</sub>: x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> 2x<sub>3</sub> = 10; E<sub>2</sub>: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math>
 +
 +
'''Lösung:'''<br />
 +
Setzt man x<sub>1</sub> = 1 + 4s, x<sub>2</sub> = 2 + r + s und x<sub>3</sub> = 1 - 3r + 5s in E<sub>2</sub> ein, erhält man die Gleichung r = 3s - 1; Somit '''schneiden sich''' die Ebenen.<br />
 +
Setzt man r in E<sub>2</sub> ein, erhält man die '''Schnittgerade''' <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math>
  
 
== Siehe auch ==
 
== Siehe auch ==
  
 
* [[Schnitte von Geraden und Ebenen]]
 
* [[Schnitte von Geraden und Ebenen]]
 +
 +
 +
 +
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]

Aktuelle Version vom 27. Dezember 2010, 10:48 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Gegenseitige Lage von zwei Geraden

Für zwei Geraden im Raum sind 4 Fälle möglich:

Sie sind parallel, sie sind identisch, sie schneiden oder sie sind windschief.

Durch die Richtungsvektoren kann man erkennen, ob die Geraden parallel sind oder nicht. Im Weiteren untersucht man dann die Schnittpunkte der Geraden.

1. Fall: g\|h

a) Stützvektor von g liegt nicht auf h \Rightarrow g und h sind parallel (Beispiel 1.1)
b) Stützvektor von g liegt auf h \Rightarrow g und h sind identisch (Beispiel 1.2)

2. Fall: g und h sind nicht parallel

a) Das LGS hat eine Lösung \Rightarrow g und h schneiden sich (Beispiel 1.3)
b) Das LGS hat keine Lösung \Rightarrow g und h sind windschief (Beispiel 1.4)

Beispiel 1.1

Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h

g: \vec x=\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} h: \vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}

Lösung:

Der Richtungsverktor von h ist das (-3)fache des Richtungsvektors von g \Rightarrow 1. Fall

Man setzt nun den Stützvektor von g gleich der Geraden h.

\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}

Daraus folgt s =\frac{1}{3} Setzt man s wieder ein, folgt daraus -3\ne1 + \frac{1}{3}\cdot(-3) Somit liegt der Stützvektor nicht auf h und die Geraden sind damit parallel.

Beispiel 1.2

Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.

g: \vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} h: \vec x=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix}

Lösung:

Der Richtungsverktor von h ist das Doppelte des Richtungsvektors von g \Rightarrow 1. Fall

Man setzt nun den Stützvektor von g gleich der Geraden h.

\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix}

Daraus folgt s = 1 Setzt man s wieder ein, folgt daraus 3=7-4 \land -1=5-6 Somit liegt der Stützvektor auf h und die Geraden sind damit identisch.

Beispiel 1.3

Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.

g: \vec x=\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} h: \vec x=\begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

Lösung:

Der Richtungsverktor von h ist kein Vielfaches des Richtungsvektors von g \Rightarrow 2. Fall

Man setzt nun die beiden Geraden gleich.

\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

Daraus ergibt sich das LGS:

9+3r = 7+ s
2r = -2+ s
6+ r = 2+2s

Als einzige Lösung ergibt sich r = 0; s = 2
Somit schneiden sich die Geraden g und h. Will man den Schnittpunkt ausrechenen, muss man s und r in eine der Geraden einsetzen.

Mit r = 0 und s = 2 ergibt sich der Schnittpunkt S(9|0|6)

Beispiel 1.4

Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.

g: \vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} h: \vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}

Lösung:

Der Richtungsverktor von h ist kein Vielfaches des Richtungsvektors von g \Rightarrow 2. Fall

Man setzt nun die beiden Geraden gleich.

\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}

Daraus ergibt sich das LGS:

2+2r = -s
5+4r = 1
4+3r = 3+2s

Dieses LGS hat keine Lösung, somit sind die Geraden windschief.

Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene

Für die gegenseitige Lage einer Gerade g und einer Ebene E sind 3 Fälle Möglich:

1) g und E schneiden sich
2) g und E sind parallel
3) g liegt in E

Ist die Ebene E durch eine Koordinatengleichung gegeben, erhält man aus dieser durch Einsetzen von x1, x2 und x3 aus der Geradengleichung eine Gleichung für den Parameter.
Die verschiedenen Lagen von g und E ergeben sich, je nachdem, ob diese Gleichung

1) genau eine Lösung (Beispiel 2.1)
2) keine Lösung (Beispiel 2.2)
3) unendlich viele Lösungen hat (Beispiel 2.3)

Beispiel 2.1

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und Ebene E.

g: \vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix} E: -3x1 + x2 - 4x3 = 6.

Lösung:

Man setzt nun x1 = 1 - 6r, x2 = 2r und x3 = 1 - 8r in die Ebenengleichung ein, dann ergibt sich:
-3(1 - 6r) + 2r - 4(1 - 8t) = 6
\Rightarrow r = \frac{1}{4} somit schneiden sich g und E.
Um den Schnittpunkt auszurechnen, setzt man r in g ein \Rightarrow S(-0,5|0,5|-1)

Beispiel 2.2

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und Ebene E.

g: \vec x=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} E: x1 - 2x2 - 3x3 = 1.

Lösung:

Man setzt nun x1 = -2 + r, x2 = 3 + 2r und x3 = 4 - r in die Ebenengleichung ein, dann ergibt sich:

-2 r -2(3 + 2r) - 3(4 - r) = 1 \Rightarrow -20 = 1; Somit sind g und E parallel.

Beispiel 2.3

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und Ebene E.

g: \vec x=\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} E: x1 - 2x2 - 3x3 = 14.

Lösung:

Man setzt nun x1 = -3 + 5r, x2 = 4 - 2r und x3 = 1 + 3r in die Ebenengleichung ein, dann ergibt sich:

-3 + 5r -2(4 - 2r) - 3(1 + 3r) = 14 \Rightarrow 0 = 0; Somit liegt g in E.

Gegenseitige Lage von zwei Ebenen

Für die gegenseitige Lage von zwei Ebenen sind 3 Fälle möglich:

1) Sie schneiden sich (Schnittgerade)
2) Sie sind parallel
3) Sie sind identisch

Lageuntersuchung bei verschiedenen Formen der Ebenengleichungen:

1) Sind beide Ebenen in Koordinatenform gegeben, fass man diese als LGS mit drei Variablen zusammen (Beispiel 3.1)
2) Sind beide Ebenen in Parameterform gegeben, setzt man diese gleich und erhält ein LGS mit drei Gleichungen und vier Variablen (Beispiel 3.2)
3) Ist eine Ebene in Parameter- und eine in Koordinatenform gegeben, setzt man x1, x2 und x3 aus der Parametergleichung in die Koordinatengleichung ein und erhält eine Gleichung mit den beiden Variablen (Beispiel 3.3)

Beispiel 3.1

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Ebenen.

E1: 3x1 - 2x2 + x3 = 3 und E2: 5x1 + 3x2 - 2x3 = 6

Lösung: Aus den beiden Gleichungen ergibt sich das LGS:

3x1 - 2x2 + x3 = 3
5x1 + 3x2 - 2x3 = 6

Da dieses LGS unterbestimmt ist setzt man x1 = r, dann erhält man:

x1 = r
x2 = 11r - 12
x3 = -21 + 19r

Daraus ergibt sich die Schnittgerade:

\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ -21 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 11 \\ 19 \end{pmatrix}

Beispiel 3.2

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Ebenen.

E1: \vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} E2: \vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} + u\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}

Lösung:
Daraus ergibt sich \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} + u\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}
Man Erhält das LGS:

1 + r + s = 1 + t -2u
1 + 2r = -1 - 4t + 3u
4 +8r + 2s = -1 -t +7u

Daraus folgt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat, d.h. die Ebenen schneiden sich.
Setzt man u in E2, erhält man die Schnittgerade:
\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ -2,5 \\ -4,5 \end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ -13 \end{pmatrix}

Beispiel 3.3

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Ebenen.

E1: x1 + x2 2x3 = 10; E2: \vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}

Lösung:
Setzt man x1 = 1 + 4s, x2 = 2 + r + s und x3 = 1 - 3r + 5s in E2 ein, erhält man die Gleichung r = 3s - 1; Somit schneiden sich die Ebenen.
Setzt man r in E2 ein, erhält man die Schnittgerade \vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

Siehe auch