Schnitte von Geraden und Ebenen.: Unterschied zwischen den Versionen

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:1) g und E schneiden sich
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:3) g liegt in E
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== '''Gegenseitige Lage von zwei Ebenen''' ==
 
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Für die gegenseitige Lage von zwei Ebenen sind '''3 Fälle''' möglich:<br />
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:1) Sie schneiden sich (Schnittgerade)
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:2) Sie sind parallel
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:3) Sie sind identisch
  
  

Version vom 8. Dezember 2009, 14:01 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Gegenseitige Lage von zwei Geraden

Für zwei Geraden im Raum sind 4 Fälle möglich:

Sie sind parallel, sie sind identisch, sie schneiden oder sie sind windschief.

Durch die Richtungsvektoren kann man erkennen, ob die Geraden parallel sind oder nicht. Im Weiteren untersucht man dann die Schnittpunkte der Geraden.

1. Fall: g\|h

a) Stützvektor von g liegt nicht auf h \Rightarrow g und h sind parallel (Beispiel 1)
b) Stützvektor von g liegt auf h \Rightarrow g und h sind identisch (Beispiel 2)

2. Fall: g und h sind nicht parallel

a) Das LGS hat eine Lösung \Rightarrow g und h schneiden sich (Beispiel 3)
b) Das LGS hat keine Lösung \Rightarrow g und h sind windschief (Beispiel 4)

Beispiel 1

Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h g: \vec x=\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} h: \vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}

Lösung:

Der Richtungsverktor von h ist das (-3)fache des Richtungsvektors von g \Rightarrow 1. Fall

Man setzt nun den Stützvektor von g gleich der Geraden h. \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}
Daraus folgt s =\frac{1}{3} Setzt man s wieder ein, folgt daraus -3\ne1 + \frac{1}{3}\cdot(-3) Somit liegt der Stützvektor nicht auf h und die Geraden sind damit parallel.

Beispiel 2

Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h g: \vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} h: \vec x=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix}

Lösung:

Der Richtungsverktor von h ist das Doppelte des Richtungsvektors von g \Rightarrow 1. Fall

Man setzt nun den Stützvektor von g gleich der Geraden h. \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix}
Daraus folgt s = 1 Setzt man s wieder ein, folgt daraus 3=7-4 \land -1=5-6 Somit liegt der Stützvektor auf h und die Geraden sind damit identisch.

Beispiel 3

Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h g: \vec x=\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} h: \vec x=\begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

Lösung:

Der Richtungsverktor von h ist kein Vielfaches des Richtungsvektors von g \Rightarrow 2. Fall

Man setzt nun die beiden Geraden gleich.
\vec x=\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec x=\begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

Daraus ergibt sich das LGS:

9+3r = 7+ s
2r = -2+ s
6+ r = 2+2s

Als einzige Lösung ergibt sich r=0; s=2
Somit schneiden sich die Geraden g und h. Will man den Schnittpunkt ausrechenen, muss man s und r in eine der Geraden einsetzen.

Mit r = 0 und s = 2 ergibt sich der Schnittpunkt S(9|0|6)

Beispiel 4

Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h g: \vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} h: \vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}

Lösung:

Der Richtungsverktor von h ist kein Vielfaches des Richtungsvektors von g \Rightarrow 2. Fall

Man setzt nun die beiden Geraden gleich.
\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}

Daraus ergibt sich das LGS:

2+2r = -s
5+4r = 1
4+3r = 3+2s

Dieses LGS hat keine Lösung, somit sind die Geraden windschief.

Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene

Für die Gerade g und einer Ebene E sind 3 Fälle Möglich:

1) g und E schneiden sich
2) g und E sind parallel
3) g liegt in E

Gegenseitige Lage von zwei Ebenen

Für die gegenseitige Lage von zwei Ebenen sind 3 Fälle möglich:

1) Sie schneiden sich (Schnittgerade)
2) Sie sind parallel
3) Sie sind identisch


Siehe auch

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