Schnitte von Geraden und Ebenen.: Unterschied zwischen den Versionen

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== '''Gegenseitige Lage von zwei Geraden''' ==
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== Gegenseitige Lage von zwei Geraden ==
  
  
Für zwei Geraden im Raum sind <u>4 Fälle</u> möglich:<br />
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Für zwei Geraden im Raum sind <u>4 Fälle</u> möglich:
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Sie sind parallel, sie sind identisch, sie schneiden oder sie sind windschief.
 
Sie sind parallel, sie sind identisch, sie schneiden oder sie sind windschief.
  
 
Durch die <u>Richtungsvektoren</u> kann man erkennen, ob die Geraden parallel sind oder nicht. Im Weiteren untersucht man dann die <u>Schnittpunkte</u> der Geraden.
 
Durch die <u>Richtungsvektoren</u> kann man erkennen, ob die Geraden parallel sind oder nicht. Im Weiteren untersucht man dann die <u>Schnittpunkte</u> der Geraden.
  
1. Fall g<math>\|</math>h
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1. Fall: g<math>\|</math>h
a) Stützvektor von g liegt nicht auf h <math>\Rightarrow</math> g und h sind parallel (Beispiel 1)
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:a) Stützvektor von g liegt nicht auf h <math>\Rightarrow</math> g und h sind parallel ([[#Beispiel 1|Beispiel 1]])
b) Stützvektor von g liegt auf h <math>\Rightarrow</math> g und h sind identisch (Beispiel 2)
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:b) Stützvektor von g liegt auf h <math>\Rightarrow</math> g und h sind identisch ([[#Beispiel 2|Beispiel 2]])
  
2. Fall g und h sind nicht parallel
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2. Fall: g und h sind nicht parallel
a) Das LGS hat eine Lösung <math>\Rightarrow</math> g und h schneiden sich (Beispiel 3)
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:a) Das LGS hat eine Lösung <math>\Rightarrow</math> g und h schneiden sich ([[#Beispiel 3|Beispiel 3]])
b) Das LGS hat keine Lösung <math>\Rightarrow</math> g und h sind windschief (Beispiel 4)
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:b) Das LGS hat keine Lösung <math>\Rightarrow</math> g und h sind windschief ([[#Beispiel 4|Beispiel 4]])
  
'''Beispiel 1:'''<br />
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=== Beispiel 1 ===
 
Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h
 
Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h
 
g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>  h: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}</math>
 
g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>  h: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}</math>
  
'''Lösung:'''<br />
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'''Lösung:'''
Der Richtungsverktor von h ist das (-3)fache des Richtungsvektors von g <math>\Rightarrow</math> 1. Fall
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Der Richtungsverktor von h ist das (-3)fache des Richtungsvektors von g <math>\Rightarrow</math>  
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1. Fall
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Man setzt nun den Stützvektor von g gleich der Geraden h.
 
Man setzt nun den Stützvektor von g gleich der Geraden h.
 
<math>\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}</math>=<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}</math>
 
<math>\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}</math>=<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}</math>
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Somit liegt der Stützvektor nicht auf h und die Geraden sind damit parallel.
 
Somit liegt der Stützvektor nicht auf h und die Geraden sind damit parallel.
  
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Version vom 7. Dezember 2009, 16:44 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Gegenseitige Lage von zwei Geraden

Für zwei Geraden im Raum sind 4 Fälle möglich:

Sie sind parallel, sie sind identisch, sie schneiden oder sie sind windschief.

Durch die Richtungsvektoren kann man erkennen, ob die Geraden parallel sind oder nicht. Im Weiteren untersucht man dann die Schnittpunkte der Geraden.

1. Fall: g\|h

a) Stützvektor von g liegt nicht auf h \Rightarrow g und h sind parallel (Beispiel 1)
b) Stützvektor von g liegt auf h \Rightarrow g und h sind identisch (Beispiel 2)

2. Fall: g und h sind nicht parallel

a) Das LGS hat eine Lösung \Rightarrow g und h schneiden sich (Beispiel 3)
b) Das LGS hat keine Lösung \Rightarrow g und h sind windschief (Beispiel 4)

Beispiel 1

Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h g: \vec x=\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} h: \vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}

Lösung:

Der Richtungsverktor von h ist das (-3)fache des Richtungsvektors von g \Rightarrow

1. Fall

Man setzt nun den Stützvektor von g gleich der Geraden h. \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix} Daraus folgt s =\frac{1}{3} Setzt man s wieder ein, folgt daraus -3\ne1 + \frac{1}{3}\cdot(-3) Somit liegt der Stützvektor nicht auf h und die Geraden sind damit parallel.

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene

Gegenseitige Lage von zwei Ebenen