Skalarprodukt, Vektorprodukt.: Unterschied zwischen den Versionen

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Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.
 
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Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''
 
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''
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'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''
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<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> =

Version vom 14. Dezember 2009, 12:10 Uhr

Skalarprodukt


Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.

Die allgemeine Formel lautet : \vec a *\vec b= \left| \vec a \right| *\left| \vec b \right| * cos \varphi


Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in 

                              cos\varphi=\frac{a*b}{ 	 \left| a \right|* 	 \left| b \right|}


Beispiel 1:

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren \vec a=\begin{pmatrix} 1 \\6 \\4 \end{pmatrix} und \vec b= \begin{pmatrix} 2 \\2 \\1 \end{pmatrix}


Also cos \alpha = \frac{\begin{pmatrix} 1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}} = \frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}} =\frac{18}{\sqrt{53}*3} =\frac{6}{\sqrt{53}} daraus folgt \alpha \approx 34,5°





Orthogonalität

Wenn \vec a und \vec b mit a\ne 0 und b \ne 0 sind, dann gilt:\vec a *\vec b= 0 Gilt umgekehrt \vec a* \vec b=0, dann sind \vec a und \vec b orthogonal.



Beispiel 2

Prüfe,ob die Vektoren a=\begin{pmatrix} 3 \\-1 \\2 \end{pmatrix} und b=\begin{pmatrix} -4 \\5 \\3 \end{pmatrix} orthogonal (rechtwinklig) sind



Bedingung ist \vec a *\vec b muss gleich 0 sein

Also :

\begin{pmatrix} 3 \\-1 \\2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} -4 \\5 \\3 \end{pmatrix} = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11

und -11 ist\not= 0, deswegen sind \vec a und \vec b nicht orthogonal







Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt


Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu \vec a und \vec b orthogonal ist

Formel für den 3 dimensionalen Raum \vec a \times \vec b =

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