Skalarprodukt, Vektorprodukt.: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Kategorie:Vektorrechnung]]

Version vom 14. Dezember 2009, 17:53 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Skalarprodukt

Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.

Die allgemeine Formel lautet :  	 \vec a *\vec b= \left| \vec a \right| *\left| \vec b \right| * cos  \varphi


Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in

cos\varphi=\frac{a*b}{ 	 \left| a \right|* 	 \left| b \right|}


Beispiel 1

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren  	 \vec a=\begin{pmatrix}
1 \\6 \\4 \end{pmatrix} und \vec b= \begin{pmatrix}
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}


Also cos \alpha = \frac{\begin{pmatrix}
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}} = \frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}} =\frac{18}{\sqrt{53}*3} =\frac{6}{\sqrt{53}} daraus folgt \alpha  \approx 34,5°





Orthogonalität

Wenn  	 \vec a und  	 \vec b mit a\ne 0 und b \ne 0 sind, dann gilt:\vec a *\vec b= 0 Gilt umgekehrt  	 \vec a* 	 \vec b=0, dann sind  	 \vec a und 	 \vec b orthogonal.



Beispiel 2

Prüfe,ob die Vektoren a=\begin{pmatrix}
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix} und b=\begin{pmatrix}
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix} orthogonal (rechtwinklig) sind



Bedingung ist \vec a *\vec b muss gleich 0 sein

Also :

\begin{pmatrix}
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix}
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix} = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11

und -11 ist\not= 0, deswegen sind 	 \vec a und 	 \vec b nicht orthogonal







Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt

Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu  	 \vec a und 	 \vec b orthogonal ist

Formel für den 3 dimensionalen Raum  	 \vec a  \times  	 \vec b = \begin{pmatrix}
a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}

Beispiel 3

Bestimmen Sie alle Vektoren \vec x, die zu \vec a und\vec b orthogonal sind

\vec a =\begin{pmatrix}
1 \\1 \\0 \end{pmatrix} und \vec b \begin{pmatrix}
3 \\-4 \\5 \end{pmatrix}

\vec a\times \vec b