Spatprodukt: Unterschied zwischen den Versionen

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Mit dem Spatprodukt kann man das Volumen eines Spates, der von drei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, berechnen.
 
Mit dem Spatprodukt kann man das Volumen eines Spates, der von drei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, berechnen.
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Gegeben sind die Vektoren <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}</math>, <math>\vec{b} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}</math> und <math>\vec{c} = \begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}</math>
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Gesucht ist V
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Rechnung:
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Als erstes setzt man die gegebenen Vektoren in die Formel <math>V = \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}</math> ein.
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<math>V = \left(\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}</math>
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Dann berechnet man zu erst das Kreuzprodukt. Man erhält also:
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<math>V = \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}</math>
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Daraufhin muss man nur noch das Skalarprodukt berechnen und schon ist man fertig:
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== Volumen von Pyramiden ==
  
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Mit dem Spatprodukt kann man außerdem auch das Volumen einer Pyramide berechnen:
 
Mit dem Spatprodukt kann man außerdem auch das Volumen einer Pyramide berechnen:

Version vom 1. Dezember 2009, 13:53 Uhr

Volumen eines Spats

Mit dem Spatprodukt kann man das Volumen eines Spates, der von drei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, berechnen.

V = \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}

Zur Berechnung des Kreuzproduktes \vec{a}\times\vec{b} und des Skalarproduktes \vec{a}\cdot\vec{c} siehe hier.

Ein Beispiel:

Gegeben sind die Vektoren \vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} und \vec{c} = \begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}

Gesucht ist V

Rechnung:

Als erstes setzt man die gegebenen Vektoren in die Formel V = \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c} ein.

V = \left(\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}

Dann berechnet man zu erst das Kreuzprodukt. Man erhält also:

V = \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}

Daraufhin muss man nur noch das Skalarprodukt berechnen und schon ist man fertig:

V = 6 - 3


Volumen von Pyramiden

Mit dem Spatprodukt kann man außerdem auch das Volumen einer Pyramide berechnen:

Dreiseitige Pyramide:

V = \frac{1}{6}\cdot\left[\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}\right]

Vierseitige Pyramide:

V = \frac{1}{3}\cdot\left[\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}\right]

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