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2024-03-29T11:32:24Z
Benutzerbeiträge
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http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-21T09:37:20Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div><!--u>'''Skalarprodukt'''</u>--><br />
== Skalarprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Skalarprodukt berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen, formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{ \vec a* \vec b}{ \left| \vec a \right|* \left| \vec a \right|}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Beispiel 1:'''--><br />
=== Beispiel 1 ===<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> <br />
=<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Aber Vorsicht: Man muss die Richtung des Vektors beachten sonst rechnet man '''nicht''' den gewünschten Winkel aus.<br />
Mit a*b kann man sowohl den Innenwinkel (siehe Bild 1) als auch den aussen Winkel(siehe Bild 2)ausrechnen,also immer die Richtung des Vektors beachten.<br />
<br />
[[Bild:mathe17.jpg]]<br />
<!--'''Orthogonalität''' --><br />
=== Orthogonalität ===<br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind und es gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
dann bedeutet es, dass <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal zueinander sind.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Beispiel 2 '''--><br />
=== Beispiel 2 ===<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''<br />
<br />
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<br />
<!--<u>'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt'''</u> --><br />
== Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''<br />
<br />
'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''<br />
<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> = <math>\begin{pmatrix}<br />
a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}</math><math> \times </math><math>\begin{pmatrix}<br />
b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<!--'''Beispiel 3 :'''--><br />
=== Beispiel 3 ===<br />
<br />
Bestimmen Sie alle Vektoren <math>\vec x</math>, die zu <math>\vec a</math> und<math>\vec b</math> orthogonal sind<br />
<br />
<math>\vec a</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<math>\vec a</math><math>\times </math> <math>\vec b</math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix} </math><math> \times</math><math> \begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6-0 \\6-3 \\0-4 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<br />
Also ist der Vektor <math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math> sowohl senkrecht zu <math> \vec a</math> als auch zu<math> \vec b</math><br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Vektorrechnung]]</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-21T09:35:40Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div><!--u>'''Skalarprodukt'''</u>--><br />
== Skalarprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Skalarprodukt berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen, formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{ \vec a* \vec b}{ \left| \vec a \right|* \left| \vec a \right|}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Beispiel 1:'''--><br />
=== Beispiel 1 ===<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> <br />
=<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Aber Vorsicht: Man muss die Richtung des Vektors beachten sonst rechnet man nicht den gewünschten Winkel aus.<br />
Mit a*b kann man sowohl den Innenwinkel (siehe Bild 1) als auch den aussen Winkel(siehe Bild 2)ausrechnen,also immer die Richtung des Vektors beachten.<br />
<br />
[[Bild:mathe17.jpg]]<br />
<!--'''Orthogonalität''' --><br />
=== Orthogonalität ===<br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind und es gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
dann bedeutet es, dass <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal zueinander sind.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Beispiel 2 '''--><br />
=== Beispiel 2 ===<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
<br />
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<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
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<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''<br />
<br />
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<!--<u>'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt'''</u> --><br />
== Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''<br />
<br />
'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''<br />
<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> = <math>\begin{pmatrix}<br />
a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}</math><math> \times </math><math>\begin{pmatrix}<br />
b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<!--'''Beispiel 3 :'''--><br />
=== Beispiel 3 ===<br />
<br />
Bestimmen Sie alle Vektoren <math>\vec x</math>, die zu <math>\vec a</math> und<math>\vec b</math> orthogonal sind<br />
<br />
<math>\vec a</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<math>\vec a</math><math>\times </math> <math>\vec b</math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix} </math><math> \times</math><math> \begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6-0 \\6-3 \\0-4 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<br />
Also ist der Vektor <math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math> sowohl senkrecht zu <math> \vec a</math> als auch zu<math> \vec b</math><br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Vektorrechnung]]</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Datei:Mathe17.jpg
Datei:Mathe17.jpg
2009-12-21T09:35:07Z
<p>Sama12: {{Information
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}</p>
<hr />
<div>{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = <br />
|Quelle = <br />
|Urheber = <br />
|Datum = <br />
|Genehmigung = <br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Datei:Mathe16.jpg
Datei:Mathe16.jpg
2009-12-21T09:33:08Z
<p>Sama12: {{Information
|Beschreibung =
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|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}</p>
<hr />
<div>{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = <br />
|Quelle = <br />
|Urheber = <br />
|Datum = <br />
|Genehmigung = <br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-20T21:08:01Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div><!--u>'''Skalarprodukt'''</u>--><br />
== Skalarprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{ \vec a* \vec b}{ \left| \vec a \right|* \left| \vec a \right|}</math><br />
<br />
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<br />
<!--'''Beispiel 1:'''--><br />
=== Beispiel 1 ===<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> <br />
=<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Aber Vorsicht: Man muss die Richtung des Vektors beachten sonst rechnet man nicht den gewünschten Winkel aus.<br />
Mit a*b kann man sowohl den Innenwinkel (siehe Bild 1) als auch den aussen Winkel(siehe Bild 2)ausrechnen,also immer die Richtung des Vektors beachten.<br />
<br />
[[Bild:mathe15.jpg]]<br />
<!--'''Orthogonalität''' --><br />
=== Orthogonalität ===<br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind und es gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
dann bedeutet es, dass <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal zueinander sind.<br />
<br />
<br />
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<!--'''Beispiel 2 '''--><br />
=== Beispiel 2 ===<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
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<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''<br />
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<br />
<!--<u>'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt'''</u> --><br />
== Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''<br />
<br />
'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''<br />
<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> = <math>\begin{pmatrix}<br />
a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}</math><math> \times </math><math>\begin{pmatrix}<br />
b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<!--'''Beispiel 3 :'''--><br />
=== Beispiel 3 ===<br />
<br />
Bestimmen Sie alle Vektoren <math>\vec x</math>, die zu <math>\vec a</math> und<math>\vec b</math> orthogonal sind<br />
<br />
<math>\vec a</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<math>\vec a</math><math>\times </math> <math>\vec b</math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix} </math><math> \times</math><math> \begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6-0 \\6-3 \\0-4 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<br />
Also ist der Vektor <math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math> sowohl senkrecht zu <math> \vec a</math> als auch zu<math> \vec b</math><br />
<br />
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[[Kategorie:Vektorrechnung]]</div>
Sama12
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Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-20T21:04:56Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div><!--u>'''Skalarprodukt'''</u>--><br />
== Skalarprodukt ==<br />
<br />
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<br />
Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{ \vec a* \vec b}{ \left| \vec a \right|* \left| \vec a \right|}</math><br />
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<!--'''Beispiel 1:'''--><br />
=== Beispiel 1 ===<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> <br />
=<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
<br />
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<br />
<br />
Aber Vorsicht: Man muss die Richtung des Vektors beachten sonst rechnet man nicht den gewünschten Winkel aus.<br />
Mit a*b kann man sowohl den Innenwinkel (siehe Bild 1) als auch den aussen Winkel(siehe Bild 2)ausrechnen,also immer die Richtung des Vektors beachten.<br />
<br />
[[Bild:mathe15.jpg]]<br />
<!--'''Orthogonalität''' --><br />
=== Orthogonalität ===<br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
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<!--'''Beispiel 2 '''--><br />
=== Beispiel 2 ===<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
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<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''<br />
<br />
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<!--<u>'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt'''</u> --><br />
== Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''<br />
<br />
'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''<br />
<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> = <math>\begin{pmatrix}<br />
a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}</math><math> \times </math><math>\begin{pmatrix}<br />
b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<!--'''Beispiel 3 :'''--><br />
=== Beispiel 3 ===<br />
<br />
Bestimmen Sie alle Vektoren <math>\vec x</math>, die zu <math>\vec a</math> und<math>\vec b</math> orthogonal sind<br />
<br />
<math>\vec a</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<math>\vec a</math><math>\times </math> <math>\vec b</math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix} </math><math> \times</math><math> \begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6-0 \\6-3 \\0-4 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<br />
Also ist der Vektor <math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math> sowohl senkrecht zu <math> \vec a</math> als auch zu<math> \vec b</math><br />
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[[Kategorie:Vektorrechnung]]</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Datei:Mathe15.jpg
Datei:Mathe15.jpg
2009-12-20T21:02:47Z
<p>Sama12: {{Information
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}</p>
<hr />
<div>{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = <br />
|Quelle = <br />
|Urheber = <br />
|Datum = <br />
|Genehmigung = <br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-20T21:00:29Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div><!--u>'''Skalarprodukt'''</u>--><br />
== Skalarprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{ \vec a* \vec b}{ \left| \vec a \right|* \left| \vec a \right|}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Beispiel 1:'''--><br />
=== Beispiel 1 ===<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> <br />
=<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Aber Vorsicht: Man muss die Richtung des Vektors beachten sonst rechnet man nicht den gewünschten Winkel aus.<br />
Mit a*b kann man sowohl den Innenwinkel (siehe Bild 1) als auch den aussen Winkel(siehe Bild 2)ausrechnen,also immer die Richtung des Vektors beachten.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Orthogonalität''' --><br />
=== Orthogonalität ===<br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Beispiel 2 '''--><br />
=== Beispiel 2 ===<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<!--<u>'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt'''</u> --><br />
== Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''<br />
<br />
'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''<br />
<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> = <math>\begin{pmatrix}<br />
a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}</math><math> \times </math><math>\begin{pmatrix}<br />
b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<!--'''Beispiel 3 :'''--><br />
=== Beispiel 3 ===<br />
<br />
Bestimmen Sie alle Vektoren <math>\vec x</math>, die zu <math>\vec a</math> und<math>\vec b</math> orthogonal sind<br />
<br />
<math>\vec a</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<math>\vec a</math><math>\times </math> <math>\vec b</math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix} </math><math> \times</math><math> \begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6-0 \\6-3 \\0-4 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<br />
Also ist der Vektor <math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math> sowohl senkrecht zu <math> \vec a</math> als auch zu<math> \vec b</math><br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Vektorrechnung]]</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-18T10:22:38Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div><!--u>'''Skalarprodukt'''</u>--><br />
== Skalarprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{ \vec a* \vec b}{ \left| \vec a \right|* \left| \vec a \right|}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Beispiel 1:'''--><br />
=== Beispiel 1 ===<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> <br />
=<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Aber Vorsicht: Man muss die Richtung des Vektors beachten sonst rechnet man nicht den gewünschten Winkel aus.<br />
Mit a*b kann man sowohl den Innenwinkel (siehe Bild 1) als auch den aussen Winkel(siehe Bild 2)ausrechnen,also immer die Richtung des Vektors beachten.<br />
[[Bild:mathe.jpg]][[Bild:mathe 2.jpg]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
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<br />
<!--'''Orthogonalität''' --><br />
=== Orthogonalität ===<br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Beispiel 2 '''--><br />
=== Beispiel 2 ===<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''<br />
<br />
<br />
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<br />
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<br />
<br />
<!--<u>'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt'''</u> --><br />
== Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''<br />
<br />
'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''<br />
<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> = <math>\begin{pmatrix}<br />
a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}</math><math> \times </math><math>\begin{pmatrix}<br />
b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<!--'''Beispiel 3 :'''--><br />
=== Beispiel 3 ===<br />
<br />
Bestimmen Sie alle Vektoren <math>\vec x</math>, die zu <math>\vec a</math> und<math>\vec b</math> orthogonal sind<br />
<br />
<math>\vec a</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<math>\vec a</math><math>\times </math> <math>\vec b</math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix} </math><math> \times</math><math> \begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6-0 \\6-3 \\0-4 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<br />
Also ist der Vektor <math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math> sowohl senkrecht zu <math> \vec a</math> als auch zu<math> \vec b</math><br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Vektorrechnung]]</div>
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Datei:Mathe 2.jpg
2009-12-18T10:14:22Z
<p>Sama12: {{Information
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}</p>
<hr />
<div>{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = <br />
|Quelle = <br />
|Urheber = <br />
|Datum = <br />
|Genehmigung = <br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-18T10:06:15Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div><!--u>'''Skalarprodukt'''</u>--><br />
== Skalarprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{ \vec a* \vec b}{ \left| \vec a \right|* \left| \vec a \right|}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Beispiel 1:'''--><br />
=== Beispiel 1 ===<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> <br />
=<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
<br />
<br />
[[Bild:mathe.jpg]]<br />
<br />
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<!--'''Orthogonalität''' --><br />
=== Orthogonalität ===<br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
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<!--'''Beispiel 2 '''--><br />
=== Beispiel 2 ===<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''<br />
<br />
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<br />
<!--<u>'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt'''</u> --><br />
== Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''<br />
<br />
'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''<br />
<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> = <math>\begin{pmatrix}<br />
a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}</math><math> \times </math><math>\begin{pmatrix}<br />
b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<!--'''Beispiel 3 :'''--><br />
=== Beispiel 3 ===<br />
<br />
Bestimmen Sie alle Vektoren <math>\vec x</math>, die zu <math>\vec a</math> und<math>\vec b</math> orthogonal sind<br />
<br />
<math>\vec a</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<math>\vec a</math><math>\times </math> <math>\vec b</math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix} </math><math> \times</math><math> \begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6-0 \\6-3 \\0-4 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<br />
Also ist der Vektor <math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math> sowohl senkrecht zu <math> \vec a</math> als auch zu<math> \vec b</math><br />
<br />
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[[Kategorie:Vektorrechnung]]</div>
Sama12
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Datei:Mathe.jpg
2009-12-18T10:04:19Z
<p>Sama12: {{Information
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}</p>
<hr />
<div>{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = <br />
|Quelle = <br />
|Urheber = <br />
|Datum = <br />
|Genehmigung = <br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}</div>
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Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-18T09:46:15Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div><!--u>'''Skalarprodukt'''</u>--><br />
== Skalarprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{ \vec a* \vec b}{ \left| \vec a \right|* \left| \vec a \right|}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Beispiel 1:'''--><br />
=== Beispiel 1 ===<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> <br />
=<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
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<!--'''Orthogonalität''' --><br />
=== Orthogonalität ===<br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
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<br />
<!--'''Beispiel 2 '''--><br />
=== Beispiel 2 ===<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''<br />
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<!--<u>'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt'''</u> --><br />
== Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''<br />
<br />
'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''<br />
<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> = <math>\begin{pmatrix}<br />
a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}</math><math> \times </math><math>\begin{pmatrix}<br />
b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<!--'''Beispiel 3 :'''--><br />
=== Beispiel 3 ===<br />
<br />
Bestimmen Sie alle Vektoren <math>\vec x</math>, die zu <math>\vec a</math> und<math>\vec b</math> orthogonal sind<br />
<br />
<math>\vec a</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<math>\vec a</math><math>\times </math> <math>\vec b</math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix} </math><math> \times</math><math> \begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6-0 \\6-3 \\0-4 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<br />
Also ist der Vektor <math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math> sowohl senkrecht zu <math> \vec a</math> als auch zu<math> \vec b</math><br />
<br />
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[[Kategorie:Vektorrechnung]]</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-18T09:40:20Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div><!--u>'''Skalarprodukt'''</u>--><br />
== Skalarprodukt ==<br />
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<br />
Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Beispiel 1:'''--><br />
=== Beispiel 1 ===<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> <br />
=<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Orthogonalität''' --><br />
=== Orthogonalität ===<br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Beispiel 2 '''--><br />
=== Beispiel 2 ===<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<!--<u>'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt'''</u> --><br />
== Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''<br />
<br />
'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''<br />
<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> = <math>\begin{pmatrix}<br />
a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}</math><math> \times </math><math>\begin{pmatrix}<br />
b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<!--'''Beispiel 3 :'''--><br />
=== Beispiel 3 ===<br />
<br />
Bestimmen Sie alle Vektoren <math>\vec x</math>, die zu <math>\vec a</math> und<math>\vec b</math> orthogonal sind<br />
<br />
<math>\vec a</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<math>\vec a</math><math>\times </math> <math>\vec b</math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix} </math><math> \times</math><math> \begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6-0 \\6-3 \\0-4 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<br />
Also ist der Vektor <math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math> sowohl senkrecht zu <math> \vec a</math> als auch zu<math> \vec b</math><br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Vektorrechnung]]</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-18T09:35:45Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div><!--u>'''Skalarprodukt'''</u>--><br />
== Skalarprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Beispiel 1:'''--><br />
=== Beispiel 1 ===<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> <br />
=<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
<br />
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<br />
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<br />
<!--'''Orthogonalität''' --><br />
=== Orthogonalität ===<br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<!--'''Beispiel 2 '''--><br />
=== Beispiel 2 ===<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
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<br />
<br />
<br />
<br />
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<br />
<br />
<!--<u>'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt'''</u> --><br />
== Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt ==<br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''<br />
<br />
'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''<br />
<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> = <math>\begin{pmatrix}<br />
a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}</math><math> \times </math><math>\begin{pmatrix}<br />
b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<!--'''Beispiel 3 :'''--><br />
=== Beispiel 3 ===<br />
<br />
Bestimmen Sie alle Vektoren <math>\vec x</math>, die zu <math>\vec a</math> und<math>\vec b</math> orthogonal sind<br />
<br />
<math>\vec a</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<math>\vec a</math><math>\times </math> <math>\vec b</math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
1 \\2 \\3 \end{pmatrix} </math><math> \times</math><math> \begin{pmatrix}<br />
2 \\0 \\3 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6-0 \\6-3 \\0-4 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}<br />
6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Vektorrechnung]]</div>
Sama12
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Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-14T10:35:10Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div><u>'''Skalarprodukt'''</u> <br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 1:'''<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> <br />
=<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
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<br />
<br />
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'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 2 '''<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''<br />
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<br />
<u>'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt'''</u> <br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''<br />
<br />
'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''<br />
<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> = <math>\begin{pmatrix}<br />
a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}</math><math> \times </math><math>\begin{pmatrix}<br />
b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''Beispiel 3 :'''<br />
<br />
Bestimmen Sie alle Vektoren <math>\vec x</math>, die zu <math>\vec a</math> und<math>\vec b</math> orthogonal sind<br />
<br />
<math>\vec a</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\1 \\0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> <math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-4 \\5 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<math>\vec a</math><math>\times </math> <math>\vec b</math></div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-14T10:22:38Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div><u>'''Skalarprodukt'''</u> <br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 1:'''<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> =<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
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'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
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<br />
'''Beispiel 2 '''<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
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<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
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<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''<br />
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<u>'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt'''</u> <br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''<br />
<br />
'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''<br />
<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> = <math>\begin{pmatrix}<br />
a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}</math><math> \times </math><math>\begin{pmatrix}<br />
b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix}<br />
a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math></div>
Sama12
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Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-14T10:10:55Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div><u>'''Skalarprodukt'''</u> <br />
<br />
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<br />
Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
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'''Beispiel 1:'''<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> =<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
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'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
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'''Beispiel 2 '''<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
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<br />
<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''<br />
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<u>'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt'''</u> <br />
<br />
<br />
<br />
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''<br />
<br />
'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''<br />
<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> =</div>
Sama12
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Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-14T09:47:05Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
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'''Beispiel 1:'''<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> =<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 2 '''<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt''' <br />
<br />
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-14T09:40:25Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 1:'''<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> =<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 2 '''<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-14T09:38:31Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 1:'''<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> =<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 2 '''<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-14T09:35:06Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 1:'''<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> =<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 2 '''<br />
<br />
Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind<br />
<br />
<br />
<br />
'''Rechenweg :''' <br />
<br />
Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein<br />
<br />
Also :<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}<br />
-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11<br />
<br />
und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-10T23:58:37Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 1:'''<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> =<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-10T23:55:26Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 1:'''<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> =<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-10T23:54:38Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' ist : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 1:'''<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> =<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math><br />
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°<br />
'''</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-08T12:26:51Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' ist : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 1:'''<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> =</div>
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Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-08T12:24:42Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' ist : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 1:'''<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math></div>
Sama12
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Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-08T12:18:07Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' ist : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in <br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 1:'''<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{}</math></div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-08T11:57:29Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' ist : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in<br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.<br />
<br />
<br />
'''Beispiel 1:'''<br />
<br />
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}<br />
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math>= <math>\begin{pmatrix}<br />
2 \\2 \\1 \end{pmatrix}</math></div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-08T11:48:52Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' ist : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in<br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math><br />
<br />
<br />
'''Orthogonalität''' <br />
<br />
Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind, dann gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
Gilt umgekehrt <math> \vec a</math>*<math> \vec b</math>=0, dann sind <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal.</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-08T11:17:59Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
<br />
Die '''allgemeine Formel''' ist : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
Für zueinander orthogonalen Vektoren gilt : a<math>\ne </math> 0 ist und b <math>\ne</math> 0 dann <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0<br />
<br />
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in<br />
<br />
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{a*b}{ \left| a \right|* \left| b \right|}</math></div>
Sama12
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Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-07T10:34:56Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
Die '''allgemeine Formel''' ist : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math><br />
<br />
Für zueinander orthogonalen Vektoren gilt : a<math>\ne </math> 0 ist und b <math>\ne</math> 0 dann <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0</div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-07T10:29:09Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
Die allgemeine Formel ist : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math></div>
Sama12
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Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-07T10:25:10Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
Die allgemeine Formel ist : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math></div>
Sama12
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Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-07T10:24:23Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
Die allgemeine Formel ist : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math>=<math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math></div>
Sama12
http://kas.zum.de/wiki/Skalarprodukt,_Vektorprodukt.
Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-07T10:14:54Z
<p>Sama12: </p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
Die allgemeine Formel ist : <math> \vec a</math></div>
Sama12
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Skalarprodukt, Vektorprodukt.
2009-12-07T10:02:20Z
<p>Sama12: Die Seite wurde neu angelegt: Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren. Die allgemeine Formel ist :<math> \vec a * \cdot \*</math></p>
<hr />
<div>Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.<br />
Die allgemeine Formel ist :<math> \vec a * \cdot \*</math></div>
Sama12