Quelltext der Seite Exponentialfunktionen.

<u>> Eigenschaften der Funktion:</u>

Die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion besteht aus folgender Form: 

                  f(x) = a<sup>x</sup>        oder auch        g(x) = c<math>	\cdot</math>a<sup>x</sup>    wobei: c <math> 	\in</math> <math>\R</math>,    a > 0,    x <math>\in</math> <math>\R</math>  ist. 

Die Exponentialfunktion beschreibt für'' a > 1 einen Wachstumsprozess'' und für ''0 < a < 1 einen Zerfallsprozess''.

D.h.: a > 1 hat die Eigenschaft STRENG MONOTON STEIGERND und 0 < a < 1 hat die Eigenschaft STRENG MONOTON FALLEND.

<u>> Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung:</u>

Die natürliche Exponentialfunktion f mit f(x)= e<sup>x</sup> hat die Ableitungsfunktion f ´mit f ´(x)= e<sup>x</sup>. Eine Stammfunktion ist F mit F(x)= e<sup>x</sup>.

ALLGEMEIN: 

Ableitung: <br />f (x) = e<sup>v (x)</sup>

f ´(x)= e<sup>v (x)</sup><math>\cdot</math> v ´ (x)

Stammfunktion:<br /> F(x) = <math>\frac{1}{v´(x)}</math>e<sup>v (x)</sup>+c

BEISPIELE: <br /> 1.) f (x) = e<sup>5x</sup><br /><br />f ´(x)= 5 e<sup>5x</sup><br /><br />F(x)= <math>\frac{1}{5}</math> e<sup>5x</sup>+c<br /> <br />2.) f(x)=5 e <sup>3x+7</sup><br /><br />f ´(x)= 5 e<sup>3x+7</sup><math>\cdot</math>3 = 15 e<sup>3x+7</sup><br /><br /> F(x) =<math>\frac{5}{3}</math> e<sup>3x+7</sup> 
 
           
<u>> Ableitung und Integrieren zusammengesetzter Funktionen:</u>


<u>> Untersuchung von Exponentialfunktionen:</u>
> Kurvendiskussion Anhand eines Beispieles:<br /> <br /> Funktion: f(x)= 5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup><br /><br />
1.) Ableitungen:<br /> f ' (x)= 5<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup> + 5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>( - 1/2)<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (5 - 5/2x)<br /><br /> f ' '(x)= - 1/2e<sup>- 1/2x</sup> (5 - 5/2x) + e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>(- 5/2)<br /> = e<sup>- 1/2x</sup> (- 5/2 + 5/4x - 5/2)<br /> = e<sup>- 1/2x</sup> (5/4x - 5)<br /><br /> f ' ' '(x)= - 1/2e<sup>- 1/2x</sup> (5/4x - 5) + e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>5/4<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (- 5/8x + 5/2 + 5/4)<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (15/4 - 5/8x)<br /><br />2.) Symmetrie:<br /> f ( -x) = 5<math>\cdot</math>(-x)<math>\cdot</math> e<sup>- 1/2<math>\cdot</math>(-x)</sup> = - 5x<math>\cdot</math>e<sup>1/2x</sup><math>\ne</math> f (x) --> KEINE ACHSENSYMMETRIE<br />f ( -x) = - 5x<math>\cdot</math> e<sup>1/2x</sup><math>\ne</math> - f(x) --> KEINE PUNKTSYMMETRIE<br /><br /> 3.) Nullstellen:<br /> notw. Bedingung f (x) = 0  <br /> 5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup> = 0<br /> x = 0 <br /> N(0/0)<br /><br />4.) Verhalten gegen <math>\infty</math>:<br /><math> \lim_{x \to \infty}</math>5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup> = 0 , weil 5x <math>\to</math> <math>\infty</math> und e<sup>- 1/2x</sup> <math>\to</math> 0<br /><br /> <math> \lim_{x \to -\infty}</math>5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup> = <math> - \infty</math> , weil 5x <math> \to</math> <math>- \infty</math> und e<sup>- 1/2x</sup> <math> \to</math> <math> \infty</math><br /><br />5. Extremwerte: <br />notw. Bedingung f ' (x) = 0 <br /> e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>(5- 5/2x) = 0<br /> Da e<sup>- 1/2x</sup> > 0 ist, braucht man nur die Klammer zu betrachten.<br /> 5 - 5/2x = 0<br />x = 2<br /><br /> hinreichende Bedingung f  ' ' (2), um zu überprüfen, ob es Hoch bzw Tiefpunkte gibt: <br /> f' '(2) = e<sup>- 1/2<math>\cdot</math>2 </sup>(5/4<math>\cdot</math>2 - 5)<br />= e<sup>- 1</sup>( 5/2 - 5)<br />=  - 0,92 < 0 daraus folgt: Es sind Hochpunkte vorhanden<br /> f (2) einsetzen, um zu überprüfen, wo der Hochpunkt ist<br />f (2) = 5<math>\cdot</math>2<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2<math>\cdot</math>2</sup><br /><br /><math>\approx</math>3,68 d.h.: Hochpunkt (2 / 3,68) 


[[Kategorie:Funktionen]]