Exponentialfunktionen.

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> Eigenschaften der Funktion:

Die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion besteht aus folgender Form:

                 f(x) = ax        oder auch        g(x) = c	\cdotax    wobei: c  	\in \R,    a > 0,    x \in \R  ist. 

Die Exponentialfunktion beschreibt für a > 1 einen Wachstumsprozess und für 0 < a < 1 einen Zerfallsprozess.

D.h.: a > 1 hat die Eigenschaft STRENG MONOTON STEIGERND und 0 < a < 1 hat die Eigenschaft STRENG MONOTON FALLEND.

> Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung:

Die natürliche Exponentialfunktion f mit f(x)= ex hat die Ableitungsfunktion f ´mit f ´(x)= ex. Eine Stammfunktion ist F mit F(x)= ex.

ALLGEMEIN:

Ableitung:
f (x) = ev (x)

f ´(x)= ev (x)\cdot v ´ (x)

Stammfunktion:
F(x) =  \frac{1}{v'(x)} \cdot e^{v(x)}


BEISPIELE:
1.) f (x) = e5x

f ´(x)= 5 e5x

F(x)= \frac{1}{5} e5x+c

2.) f(x)=5 e 3x+7

f ´(x)= 5 e3x+7\cdot3 = 15 e3x+7

F(x) =\frac{5}{3} e3x+7


> Ableitung und Integrieren zusammengesetzter Funktionen:


> Untersuchung von Exponentialfunktionen: > Kurvendiskussion Anhand eines Beispieles:

Funktion: f(x)= 5x\cdote- 1/2x

1.) Ableitungen:
f ' (x)= 5\cdote- 1/2x + 5x\cdote- 1/2x\cdot( - 1/2)
= e- 1/2x (5 - 5/2x)

f ' '(x)= - 1/2e- 1/2x (5 - 5/2x) + e- 1/2x\cdot(- 5/2)
= e- 1/2x (- 5/2 + 5/4x - 5/2)
= e- 1/2x (5/4x - 5)

f ' ' '(x)= - 1/2e- 1/2x (5/4x - 5) + e- 1/2x\cdot5/4
= e- 1/2x (- 5/8x + 5/2 + 5/4)
= e- 1/2x (15/4 - 5/8x)

2.) Symmetrie:
f ( -x) = 5\cdot(-x)\cdot e- 1/2\cdot(-x) = - 5x\cdote1/2x\ne f (x) --> KEINE ACHSENSYMMETRIE
f ( -x) = - 5x\cdot e1/2x\ne - f(x) --> KEINE PUNKTSYMMETRIE

3.) Nullstellen:
notw. Bedingung f (x) = 0
5x\cdote- 1/2x = 0
x = 0
N(0/0)

4.) Verhalten gegen \infty:
 \lim_{x \to \infty}5x\cdote- 1/2x = 0 , weil 5x \to \infty und e- 1/2x \to 0

 \lim_{x \to -\infty}5x\cdote- 1/2x =  - \infty , weil 5x  \to - \infty und e- 1/2x  \to  \infty

5. Extremwerte:
notw. Bedingung f ' (x) = 0
e- 1/2x\cdot(5- 5/2x) = 0
Da e- 1/2x > 0 ist, braucht man nur die Klammer zu betrachten.
5 - 5/2x = 0
x = 2

hinreichende Bedingung f ' ' (2), um zu überprüfen, ob es Hoch bzw Tiefpunkte gibt:
f' '(2) = e- 1/2\cdot2 (5/4\cdot2 - 5)
= e- 1( 5/2 - 5)
= - 0,92 < 0 daraus folgt: Es sind Hochpunkte vorhanden
f (2) einsetzen, um zu überprüfen, wo der Hochpunkt ist
f (2) = 5\cdot2\cdote- 1/2\cdot2

\approx3,68 d.h.: Hochpunkt (2 / 3,68)

6. Wendestellen:
notw. Bedingung f ' ' (x) = 0
e- 1/2x( 5/4x -5) = 0
5/4x -5 = 0
x = 4

hinreichende Bedingung: f ' ' '(4) um zu überprüfen, ob es Wendestellen gibt:
e- 1/2\cdot4( 15/4 - 5/8\cdot4)
\approx0,17 \ne 0 d.h.: Wendestelle vorhanden
bei: f (4)= 5\cdot4\cdote- 1/2\cdot4
\approx2,17 d.h.: Wendestelle (4/ 2,71)

7. Graph: