Quelltext der Seite Ganzrationale Funktionen

'''<math>{ \color{Blue}f(x)= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0}</math>'''



<math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0</math> =  Polynom

<math>a_n, a_n-1,..., a_1, a_0</math>                  =  Koeffizienten

n                                                       =  Grad des Polynom




== 1. <math>{ \color{OliveGreen}Nullstellen \ bestimmen: }</math> ==


f(x)=0




=== <math>{ \color{Red} Polynomdivision: }</math> ===

Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgefuehrt werden.

Vorgehensweise:

a) Bestimmung einer Nullstelle (N) der Funktion f(x) durch Erraten.

Tipp: als erstes immer für N = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 einsetzen, da dass die gaengigen Nullstellen sind 

b) Erstellung des Termes p(x) = (x - N) durch die soeben gefundene Nullstelle.

c) Nun vereinfacht man die Funktion durch den Bruch :<math>\frac{f(x)}{p(x)}</math> und setzt diesen = 0. Um dies jetzt zu lösen, geht man vor wie bei einer längeren Division.




=== <math>{ \color{Red} Substitution:}</math> ===

Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint. 

Beispiel:

Funktion: f(x) = <math>x^4</math> + <math>6x^2</math> + 8 = 0.

substituiere: <math>x^2</math> = z

neue Funktion <math>f(z)_n</math> = <math>z^2</math> + 6z + 8 = 0.

Nun lässt sich durch die p/q - Formel oder die quadratische Ergänzung die Nullstellen errechnen. 

Schließlich wird die Substitution wieder rückgängig gemacht, indem man aus z +/- die Wurzel zieht.





=== <math>{ \color{Red} p/q-Formel:}</math> ===

f(x) = <math>x^2</math> + px + q = 0

<math>x_{1,2}</math> = <math>\frac{-p}{2}</math> <math> \pm \sqrt{ (\frac{-p}{2})^2-q }</math>




=== <math>{ \color{Red} quadratische \ Ergaenzung:}</math> ===

Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden.

<math>x^2</math> + ax = <math>\underbrace {x^2 + ax + \frac{a^2}{4}}_{(x+\frac{a}{2})^2}</math> - <math>\frac{a^2}{4}</math>





== 2. <math>{ \color{OliveGreen}Symmetrie: }</math> ==


1.   <math>f(-x)  =   f(x)</math>       für <math>x \in D</math>   <math>\rightarrow</math> '''achsensymmetrisch'''  zur  y-Achse
 
2.   <math>f(-x)  =  -f(x)</math>       für <math>x \in D</math>   <math>\rightarrow</math> '''punktsymmetrisch'''   zum  Ursprung 


Tipp:achsensymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur gerade Exponente und punktsymmetrische ganzrationale Funktionen nur ungerade Hochzahlen





== 3. <math>{ \color{OliveGreen}Verhalten \ von \ ganzrationalen \ Funktionen}</math> ==



<math>a_nx^n</math>  :  für <math>a_n > 0</math> gilt 


<math>
\begin{cases}
  f(x) \rightarrow + \infty,  & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm {  gerade,}\\
  f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm {  ungerade.}
\end{cases}
</math>



<math>a_nx^n</math>  :  für <math>a_n < 0</math> gilt 


<math>
\begin{cases}
  f(x) \rightarrow + \infty,  & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm {  ungerade,}\\
  f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm {  gerade.}
\end{cases}
</math>


[[Kategorie:Funktionen]]