Ganzrationale Funktionen

${ \color{Blue}f(x)= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0}$

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$ = Polynom

$a_n, a_n-1,..., a_1, a_0$ = Koeffizienten

n = Grad des Polynom

1. ${ \color{OliveGreen}Nullstellen \ bestimmen: }$

f(x)=0

${ \color{Red} Polynomdivision: }$

Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgefuehrt werden.

Vorgehensweise:

a) Bestimmung einer Nullstelle (N) der Funktion f(x) durch Erraten.

Tipp: als erstes immer für N = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 einsetzen, da dass die gaengigen Nullstellen sind

b) Erstellung des Termes p(x) = (x - N) durch die soeben gefundene Nullstelle.

c) Nun vereinfacht man die Funktion durch den Bruch :$\frac{f(x)}{p(x)}$ und setzt diesen = 0. Um dies jetzt zu lösen, geht man vor wie bei einer längeren Division.

${ \color{Red} Substitution:}$

Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint.

Beispiel:

Funktion: f(x) = $x^4$ + $6x^2$ + 8 = 0.

substituiere: $x^2$ = z

neue Funktion $f(z)_n$ = $z^2$ + 6z + 8 = 0.

Nun lässt sich durch die p/q - Formel oder die quadratische Ergänzung die Nullstellen errechnen.

Schließlich wird die Substitution wieder rückgängig gemacht, indem man aus z +/- die Wurzel zieht.

${ \color{Red} p/q-Formel:}$

f(x) = $x^2$ + px + q = 0

$x_{1,2}$ = $\frac{-p}{2}$ $\pm \sqrt{ (\frac{-p}{2})^2-q }$

${ \color{Red} quadratische \ Ergaenzung:}$

Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden.

$x^2$ + ax = $\underbrace {x^2 + ax + \frac{a^2}{4}}_{(x+\frac{a}{2})^2}$ - $\frac{a^2}{4}$

2. ${ \color{OliveGreen}Symmetrie: }$

1. $f(-x) = f(x)$ für $x \in D$ $\rightarrow$ achsensymmetrisch zur y-Achse

2. $f(-x) = -f(x)$ für $x \in D$ $\rightarrow$ punktsymmetrisch zum Ursprung

Tipp:achsensymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur gerade Exponente und punktsymmetrische ganzrationale Funktionen nur ungerade Hochzahlen

3. ${ \color{OliveGreen}Verhalten \ von \ ganzrationalen \ Funktionen}$

$a_nx^n$  : für $a_n > 0$ gilt

$\begin{cases} f(x) \rightarrow + \infty, & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { gerade,}\\ f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { ungerade.} \end{cases}$

$a_nx^n$  : für $a_n < 0$ gilt

$\begin{cases} f(x) \rightarrow + \infty, & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { ungerade,}\\ f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { gerade.} \end{cases}$