Quelltext der Seite Rotationsintegrale.

Ein '''Rotationskörper''' ensteht, indem man eine Fläche um eine Drehachse rotieren lässt. Diese Fläche ist durch eine auf dem Intervall [a; b] stetige Funktion f, den Gleichungen x=a und x=b und der jeweiligen Achse eingeschlossen.

[[Bild:Sv74b74c.gif]] 

In der obenstehenden Abbildung handelt es sich, um eine Rotation um die x-Achse. Unser Ziel ist es das Volumen der Rotationskörper bei Rotierung um die x- bzw. y-Achse zu berechnen.



== 1. Rotation um die x-Achse ==

<math>V(x)=\pi\int_a^b(f(x))^2dx</math>


'''Beispiel''' (''Rauminhalt eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse''):

Wir haben den Graph der Funktion f mit f(x)=<math>\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}</math>. Dieser begrenzt mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x=4 eine Fläche.
Das Volumen berechnet man so:


<math>V(x)=\pi\int_0^4(\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4})^2dx</math>

<math>=\pi\int_0^4(\frac{1}{2}{x^2+1})dx</math>

<math>=\pi[\frac 1{12}x^3+x]^4_0</math>

<math>=\frac{28}{3}\pi=29,32.</math>




== 2. Rotation um die y-Achse ==

Bei der Rotation um die y-Achse berechnen wir nun den Rotationskörper, der durch die Rotierung der Fläche A um die y-Achse entsteht. Die Fläche A wird durch einen Graphen, die y-Achse und den Gleichungen y=c und y=d begrenzt.
Um das Volumen zu bestimmen, muss der Graph an der Winkelhalbierenden der Kooardinatenachsen gespiegelt werden. In der Rechnung muss man hierzu die Umkehrfunktion bestimmen. [[http://www.oberprima.com/index.php/umkehrfunktion/nachhilfe| Bestimmung von Umkehrfunktionen]]

Daraus ergibt sich die Volumenformel: 
<math>V(y)=\pi\int\limits_{f(a)}^{f(b)}(\bar{f}(y))^2dy</math>


'''Beispiel:''' (''Rauminhalt eines Rotationskörpers bei Rotation um die y-Achse''):
Der Graph der Funktion f mit f(x)= <math>\frac{1}{4}x^2+1</math> begrenzt mit der y-Achse und den Geraden mit den Gleichungen y=2 und y=3 eine Fläche, die um die y-Achse rotiert. 
Das Volumen des Rotationskörpers berechnen wir so:

''Umkehrfunktion bestimmen:'' <math>x^2=(\bar{f}(y))^2 =4y-4</math>, dann gilt


<math>V=\pi\int_2^3(\bar{f}(y))^2dy=\pi\int_2^3(4y-4)dy</math>

<math>=\pi[2y^2-4y]^3_2=6\pi=18.85</math>




== Rotationsintegrale üben ==


- ''im Buch(Analysis):'' S. 147-151

- ''Aufgaben online'':[http://www.klassenarbeiten.net/klassenarbeiten/uebungen/klasse10/mathematik/zylinder_kegel_kugel/rotationskoerper.shtml| Klassenarbeitsübungen]




[[Kategorie:Differential- und Integralrechnung]]