Schnittpunkte/Schnittwinkel.: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 18. Dezember 2009, 11:21 Uhr

Dieser Artikel beschreibt den Vorgang der Schnittpunkt- und Schnittwinkelbestimmung.

Inhaltsverzeichnis

1 Schnittpunkt zweier Geraden
2 Schnittpunkt mit der x-Achse
3 Schnittpunkte mit der y-Achse
4 Schnittwinkel an Nullstellen
5 Schnittwinkel zwischen zwei Funktionen
6 Schnittwinkel an zwei Geraden
7 Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebene
8 Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

Schnittpunkt zweier Geraden

Beispiel: $f\! (x)=2x+7$ ^ $g\! (x)=5x-5$

1.) Beide Funktionen gleichsetzten und nach x auflösen

Beispiel: $\!x=4$

2.) Nun x in einer der beiden Gleichungen einsetzten und y bestimmen.

Beispiel: $\!f(4)=2*4+7=15$

3.) x und y Stellen die Koordinaten des Schnittpunkt dar $\!S(x|y)$ .

Beispiel: $\!S(4|15)$

Schnittpunkt mit der x-Achse

Beispiel: $\!f(x)=x^2+5x$

1.) Die Gleichung $f(x)$ gleich 0 setzten.

Beispiel: $\!x^2+5x=0$

2.) Die Gleichung $f(x)$ nach x auflösen.

Beispiel: $\!x=-5$

3.) Der x-Wert ist die Nullstelle $S(x|0)$ .

Beispiel $\!S(-5|0)$

Schnittpunkte mit der y-Achse

Beispiel: $\!f(x)=6x^2-3$

1.) x gleich 0 setzten.

Beispiel: $\!f(0)=6*0^2-3$

2.) Gleichung nach y auflösen.

Beispiel: $\!f(0)=y=-3$

3.) y ist der y-Wert des Schnittpunktes $S(0|y).$

Beispiel: $\!S(0|-3)$

Schnittwinkel an Nullstellen

Beispiel: $\!f(x)=x^2-7x$

1.) Ermitteln Sie die Nullstellen

Beispiel: $\!x=0$

2.) Bilden Sie nun die erste Ableitung von $f(x)$ .

Beispiel: $\!f'(x)=2*x-7$

3.) Ermitteln Sie nun die Steigung an der Nullstelle, indem sie den x-Wert der Nullstelle in f '(x) einsetzten.

Beispiel: $\!f'(0)=2*0-7$

4.) Das Ergebnis ist die Steigung an der Nullstelle $(m)$ .

Beispiel: $\!f'(0)=-7$

5.) Setzte nun $m$ in die Formel $tan^{-1}(m)=\alpha$ ein. Das Ergebnis ist der Schnittwinkel.

Beispiel: $\!tan^{-1}(-7)=-81,87$ °

Schnittwinkel zwischen zwei Funktionen

Beispiel: $\!f(x)$ ^ $\!g(x)$

Steigung beider Funktionen im Schnittpunkt bestimmen.

Beispiel: $\!\alpha=\frac{m_g-m_f}{1+m_f*m_g}$ $\!\ne0$

Schnittwinkel an zwei Geraden

$\!\alpha=\frac{m_2-m_1}{1+m_1*m_2}$ $\!\ne0$

$m_1=m_2 \Rightarrow g_1 || g_2$

$m_1=-\frac{1}{m_2}\Rightarrow g_1 (ort) g_2$

Dabei ist $\!m_1$ die Steigung der ersten Geraden und $\!m_2$ die Steigung der zweiten Geraden.

Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebene

$\sin\alpha=\frac{|\vec n * \vec a |}{|\vec n | * |\vec a |}$

Dabei ist $\vec a$ der Richtungsvektor der Geraden und $\vec n$ der Normalenvektor der Ebene.

Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

$\cos\alpha=\frac{|\vec n_{1} * \vec n_{2} |}{|\vec n_{1} | * |\vec n_{2} |}$

Dabei ist $\vec n_{1}$ der Normalenvektor der ersten Ebene und $\vec n_{2}$ der Normalenvektor der zweiten Ebene.

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-Dieser Artikel beschreibt den Vorgan der Schnittpunkt- und Schnittwinkel bestimmung.
+Dieser Artikel beschreibt den Vorgang der Schnittpunkt- und Schnittwinkelbestimmung.
+== ''Schnittpunkt zweier Geraden'' ==
+'''Beispiel: '''<math>f\! (x)=2x+7      </math>   ^  <math>g\! (x)=5x-5 </math><br /><br />
+.) Beide Funktionen gleichsetzten und nach x auflösen<br /><br />
+'''Beispiel: '''<math>\!x=4 </math><br /><br />
+.) Nun x in einer der beiden Gleichungen einsetzten und y bestimmen.<br /><br />
+'''Beispiel: '''<math>\!f(4)=2*4+7=15 </math><br /><br />
+.) x und y Stellen die Koordinaten des Schnittpunkt dar <math>\!S(x|y)</math>.<br /><br />
+'''Beispiel: '''<math>\!S(4|15) </math><br /><br />
+[[Bild:Schnittpunkt.jpg|center|700px]]
-== ''Schnittpunkt zweier Gerdaden'' ==
-'''Beispiel: '''<math>f\! (x)=2x+7      </math>     <math>g\! (x)=5x-5 </math><br />
-.) Beide Funktionen gleichsetzten und nach x auflösen<br />
-'''Beispiel: '''<math>\!x=4 </math><br />
-.) Nun x in einer der beiden Gleichungen einsetzten und y bestimmen.<br />
-'''Beispiel: '''<math>\!f(4)=2*4+7=15 </math><br />
-.) x und y Stellen die Koordinaten des Schnittpunkt dar <math>S(x|y)</math>.<br />
-'''Beispiel: '''<math>\!S(4/15) </math>
 == ''Schnittpunkt mit der x-Achse'' ==
-'''Beispiel: '''<math>\!f(x)=x^2+5x </math><br />
-.) Die Gleichung <math>f(x)</math> gleich 0 setzten.<br />
-'''Beispiel: '''<math>\!x^2+5x=0 </math><br />
+'''Beispiel: '''<math>\!f(x)=x^2+5x </math>
-.) Die Gleichung <math>f(x)</math> nach x auflösen.<br />
+.) Die Gleichung <math>f(x)</math> gleich 0 setzten.
+'''Beispiel: '''<math>\!x^2+5x=0 </math>
+.) Die Gleichung <math>f(x)</math> nach x auflösen.
 '''Beispiel: '''<math>\!x=-5 </math>
+.) Der x-Wert ist die Nullstelle <math>S(x|0)</math>.
+'''Beispiel'''<math>\!S(-5|0)</math>
+[[Bild:Schnittpunktx.jpg|center|700px]]
 == ''Schnittpunkte mit der y-Achse'' ==
+'''Beispiel: '''<math>\!f(x)=6x^2-3</math><br /><br />
+.) x gleich 0 setzten.<br /><br />
+'''Beispiel: '''<math>\!f(0)=6*0^2-3</math><br /><br />
+.) Gleichung nach y auflösen.<br /><br />
+'''Beispiel: '''<math>\!f(0)=y=-3</math><br /><br />
+.) y ist der y-Wert des Schnittpunktes <math>S(0|y).</math><br /><br />
+'''Beispiel: '''<math>\!S(0|-3)</math><br /><br />
+[[Bild:Schnittpunkty.jpg|center|700px]]
 == ''Schnittwinkel an Nullstellen'' ==
+'''Beispiel: '''<math>\!f(x)=x^2-7x</math><br /><br />
+.) Ermitteln Sie die [http://wikis.zum.de/kas/index.php/Kurvendiskussion. Nullstellen]
+<br /><br />'''Beispiel: '''<math>\!x=0</math><br /><br />
+.) Bilden Sie nun die erste [http://wikis.zum.de/kas/index.php/Ableitungsregeln. Ableitung] von <math>f(x)</math>.<br /><br />
+'''Beispiel: '''<math>\!f'(x)=2*x-7</math><br /><br />
+.) Ermitteln Sie nun die Steigung an der Nullstelle, indem sie den x-Wert der Nullstelle in ''f '(x)'' einsetzten.<br /><br />
+'''Beispiel: '''<math>\!f'(0)=2*0-7</math><br /><br />
+.) Das Ergebnis ist die Steigung an der Nullstelle <math>(m)</math>.<br /><br />
+'''Beispiel: '''<math>\!f'(0)=-7</math><br /><br />
+.) Setzte nun <math>m</math> in die Formel <math>tan^{-1}(m)=\alpha</math> ein. Das Ergebnis ist der Schnittwinkel.<br /><br />
+'''Beispiel: '''<math>\!tan^{-1}(-7)=-81,87</math>°<br /><br />
+[[Bild:grafik4.jpg|center|700px]]
+== ''Schnittwinkel zwischen zwei Funktionen'' ==
+'''Beispiel: '''<math>\!f(x)</math>  ^  <math>\!g(x)</math><br /><br />
+Steigung beider Funktionen im Schnittpunkt bestimmen.<br /><br />
+'''Beispiel: '''<math>\!\alpha=\frac{m_g-m_f}{1+m_f*m_g}</math> <math>\!\ne0</math>
-== ''Schnittwinkel an zwei Geraden'' ==
+== ''Schnittwinkel an zwei Geraden'' ==
+<math>\!\alpha=\frac{m_2-m_1}{1+m_1*m_2}</math> <math>\!\ne0</math><br /><br />
+<math>m_1=m_2 \Rightarrow g_1 || g_2</math><br /><br />
+<math>m_1=-\frac{1}{m_2}\Rightarrow g_1 (ort) g_2</math><br /><br />
+Dabei ist <math>\!m_1</math> die Steigung der ersten Geraden und <math>\!m_2</math> die Steigung der zweiten Geraden.
 == ''Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebene'' ==
-<math>\sin\alpha=\frac{|\vec n * \vec a |}{|\vec n | * |\vec a |}</math>
+<math>\sin\alpha=\frac{|\vec n * \vec a |}{|\vec n | * |\vec a |}</math><br /><br />
-Dabei ist <math>\vec a</math> der Richtungsvektor der Geraden und <math>\vec n</math> der Normalenvektor der Ebene.
+Dabei ist <math>\vec a</math> der Richtungsvektor der Geraden und <math>\vec n</math> der Normalenvektor der Ebene.<br />
 == ''Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen'' ==
-<math>\cos\alpha=\frac{|\vec n_{1} * \vec n_{2} |}{|\vec n_{1} | * |\vec n_{2} |}</math>
+<math>\cos\alpha=\frac{|\vec n_{1} * \vec n_{2} |}{|\vec n_{1} | * |\vec n_{2} |}</math><br /><br />
-Dabei ist <math>\vec n_{1}</math> der Normalenvektor der ersten Ebene und <math>\vec n_{2}</math> der Normalenvektor der zweiten Ebene.
+Dabei ist <math>\vec n_{1}</math> der Normalenvektor der ersten Ebene und <math>\vec n_{2}</math> der Normalenvektor der zweiten Ebene.<br /><br />
+[[Kategorie:Funktionen]]

Schnittpunkte/Schnittwinkel.: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 18. Dezember 2009, 11:21 Uhr

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Schnittpunkt zweier Geraden

Schnittpunkt mit der x-Achse

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