Schnittpunkte/Schnittwinkel.

Dieser Artikel beschreibt den Vorgang der Schnittpunkt- und Schnittwinkelbestimmung.

Schnittpunkt zweier Geraden

Beispiel: $f\! (x)=2x+7$ ^ $g\! (x)=5x-5$

1.) Beide Funktionen gleichsetzten und nach x auflösen

Beispiel: $\!x=4$

2.) Nun x in einer der beiden Gleichungen einsetzten und y bestimmen.

Beispiel: $\!f(4)=2*4+7=15$

3.) x und y Stellen die Koordinaten des Schnittpunkt dar $\!S(x|y)$.

Beispiel: $\!S(4|15)$

Schnittpunkt mit der x-Achse

Beispiel: $\!f(x)=x^2+5x$

1.) Die Gleichung $f(x)$ gleich 0 setzten.

Beispiel: $\!x^2+5x=0$

2.) Die Gleichung $f(x)$ nach x auflösen.

Beispiel: $\!x=-5$

3.) Der x-Wert ist die Nullstelle $S(x|0)$.

Beispiel$\!S(-5|0)$

Schnittpunkte mit der y-Achse

Beispiel: $\!f(x)=6x^2-3$

1.) x gleich 0 setzten.

Beispiel: $\!f(0)=6*0^2-3$

2.) Gleichung nach y auflösen.

Beispiel: $\!f(0)=y=-3$

3.) y ist der y-Wert des Schnittpunktes $S(0|y).$

Beispiel: $\!S(0|-3)$

Schnittwinkel an Nullstellen

Beispiel: $\!f(x)=x^2-7x$

1.) Ermitteln Sie die Nullstellen

Beispiel: $\!x=0$

2.) Bilden Sie nun die erste Ableitung von $f(x)$.

Beispiel: $\!f'(x)=2*x-7$

3.) Ermitteln Sie nun die Steigung an der Nullstelle, indem sie den x-Wert der Nullstelle in f '(x) einsetzten.

Beispiel: $\!f'(0)=2*0-7$

4.) Das Ergebnis ist die Steigung an der Nullstelle $(m)$.

Beispiel: $\!f'(0)=-7$

5.) Setzte nun $m$ in die Formel $tan^{-1}(m)=\alpha$ ein. Das Ergebnis ist der Schnittwinkel.

Beispiel: $\!tan^{-1}(-7)=-81,87$°

Schnittwinkel zwischen zwei Funktionen

Beispiel: $\!f(x)$ ^ $\!g(x)$

Steigung beider Funktionen im Schnittpunkt bestimmen.

Beispiel: $\!\alpha=\frac{m_g-m_f}{1+m_f*m_g}$ $\!\ne0$

Schnittwinkel an zwei Geraden

$\!\alpha=\frac{m_2-m_1}{1+m_1*m_2}$ $\!\ne0$

$m_1=m_2 \Rightarrow g_1 || g_2$

$m_1=-\frac{1}{m_2}\Rightarrow g_1 (ort) g_2$

Dabei ist $\!m_1$ die Steigung der ersten Geraden und $\!m_2$ die Steigung der zweiten Geraden.

Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebene

$\sin\alpha=\frac{|\vec n * \vec a |}{|\vec n | * |\vec a |}$

Dabei ist $\vec a$ der Richtungsvektor der Geraden und $\vec n$ der Normalenvektor der Ebene.

Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

$\cos\alpha=\frac{|\vec n_{1} * \vec n_{2} |}{|\vec n_{1} | * |\vec n_{2} |}$

Dabei ist $\vec n_{1}$ der Normalenvektor der ersten Ebene und $\vec n_{2}$ der Normalenvektor der zweiten Ebene.