Rotationsintegrale: Unterschied zwischen den Versionen
Aus KAS-Wiki
| (15 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 2: | Zeile 2: | ||
| − | Volumen des Körpers bei Rotation der Flächen zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a;b]. | + | Das Volumen des Körpers bei der Rotation der Flächen zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a;b]. |
<math>V(x)=\pi*\int_a^b(f(x))^2dx</math> | <math>V(x)=\pi*\int_a^b(f(x))^2dx</math> | ||
| − | Volumen des Körpers bei Rotation der | + | Das Volumen des Körpers bei der Rotation der Flächen zwischen dem Graphen von f und der y-Achse im Intervall[a;b]. Dabei sei f umkehrbar mit <math>x=f^{-1}(y)</math>. |
| + | |||
| + | <math>V(y)=\pi*\int\limits_{f(a)}^{f(b)}(f^{-1}(y))^2dy</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | == Anwendung am Beispiel == | ||
| + | |||
| + | <math>0,5*\sqrt{x^2+4}</math> im Intervall [0;4]. | ||
| + | |||
| + | Gesucht ist das Volumen der Funktion f(x) rotiert um die x-Achse. | ||
| + | |||
| + | Dazu setzt man die Werte in die Formel <math>V(x)=\pi*\int_a^b(f(x))^2dx</math> ein. | ||
| + | |||
| + | <math>V(x)=\pi*\int_0^4(0,5*\sqrt{x^2+4})^2dx</math> | ||
| + | |||
| + | <math>=\pi*\int_0^4(0,25*{x^2+1})dx</math> | ||
| + | |||
| + | <math>=\pi*[\frac 1{12}x^3+x]^4_0</math> | ||
| + | |||
| + | Das führt zu folgendem Ergebnis: | ||
| + | |||
| + | <math>\frac {28}3*\pi\approx 29,32</math> | ||
Aktuelle Version vom 1. Dezember 2009, 13:24 Uhr
Rotationsintegral(Volumen von Rotationskörpern)
Das Volumen des Körpers bei der Rotation der Flächen zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a;b].
Das Volumen des Körpers bei der Rotation der Flächen zwischen dem Graphen von f und der y-Achse im Intervall[a;b]. Dabei sei f umkehrbar mit 
.
Anwendung am Beispiel
im Intervall [0;4].
Gesucht ist das Volumen der Funktion f(x) rotiert um die x-Achse.
Dazu setzt man die Werte in die Formel ein.
![=\pi*[\frac 1{12}x^3+x]^4_0](/images/math/4/7/0/470cb2e52d51397660744413ac40733e.png)
Das führt zu folgendem Ergebnis:
